摘要： 给出一个线性同余方程组 x≡b1(mod m1) x≡b2(mod m2) x≡b3(mod m3) ...... x≡bn(mod mn)其中m1,m2,...,mn两两互素,求x.令M=m1*m2*m3*...*mn.Mi=M/mi.Mi'Mi≡1 (mod mi)用扩展欧几里得算法求出Mi关于mi的乘法逆元Mi'.x=∑Mi'Mibi mod Mcode:var p,q,r:array[0..10000] of longint; n,i,m,xx,yy,ans:longint; function exgcd(a,b:longint; var x,y:longint 阅读全文

摘要： 扩展欧几里得算法是用来求解形如ax+by=c的方程的.令d=gcd(a,b),若d不整除c则方程无解.我们先考虑这个方程:ax+by=d∵gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)∴d=ax+by=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b]y')令x=y' y=x'-[a/b]y'当b=0时,d=a=ax+by得x=1,y=0.求出ax+by=d的一组解x',y'后,由(c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d即可得到ax 阅读全文

摘要： 定理1:如果a,b,m,n是整数,且c|a,c|b,则c|(ma+nb).证明:令a=ce,b=cf,则ma+nb=emc+fnc=c(em+fn).得证形如ax+by=c的方程,其中a,b,c为整数,被称为关于两个变量的线性丢番图方程.定理2:设a,b是整数且d=(a,b),如果d|c,那么存在无穷多个整数解,否则没有整数解.证明:由定理1,知d|(ax+by).因此若d不整除c,则方程无整数解.形如ax≡b (mod m)的同余式称为一元线性同余方程.定理3:设a,b和m是整数,m>0,(a,m)=d,若d|b则ax≡b (mod m)恰有d个模m不同余的解,否则无整数解.证明:ax 阅读全文