定理1:如果a,b,m,n是整数,且c|a,c|b,则c|(ma+nb).
证明:令a=ce,b=cf,则ma+nb=emc+fnc=c(em+fn).得证
形如ax+by=c的方程,其中a,b,c为整数,被称为关于两个变量的线性丢番图方程.
定理2:设a,b是整数且d=(a,b),如果d|c,那么存在无穷多个整数解,否则没有整数解.
证明:由定理1,知d|(ax+by).因此若d不整除c,则方程无整数解.
形如ax≡b (mod m)的同余式称为一元线性同余方程.
定理3:设a,b和m是整数,m>0,(a,m)=d,若d|b则ax≡b (mod m)恰有d个模m不同余的解,否则无整数解.
证明:ax≡b (mod m)可以转化为线性丢番图方程ax-my=b,因此由定理2知若d不整除b则方程无整数解.
在一元线性同余方程中,当b=1时,方程变为ax≡1 (mod m),此时解x称为a模m的逆.即乘法逆元.
定理和证明参考:[初等数论及其应用].(美国)Kenneth.H．Rosen
其中还有一部分未证明,请参考这本书.
