iga 入门值 rtiz-galerkin 法解题步骤

简介

流体力学数值方法 中介绍的方法

流程

考虑算子方程 L(u) = f u \(\in\) D
定义域D是满足齐次边界条件的，具有和微分算子L先适应的连续可微性要求的函数空间。如果微分方程具有非齐次边界条件，则需要现寻找一个满足非齐次边界条件的特解，然后将微分方程转化为齐次边界条件的算子方程。
Ritz--Galerkin法解题基本步骤如下：

1. 写出积分表达式
   根据上两节的分析，不论是从变分原理导出的变分表达式，还是采用Galerkin法导出的的加权余量几分式，都可以归结于下面的积分表达式

\[\begin{equation*} \int_{\Omega} \left[ L(u) - f \right]\delta ud\Omega = 0 \, (1-83) \end{equation*} \]

2. 在D内选取基函数序列{\(\phi_i\)}(i=1,2...)。这个基函数的线性组合可以任意精度地逼近D中任何一个函数。
3. 将方程的近似解表示为n个基函数的线性组合，构成n级近似解

\[u_n = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j \phi_j \,(1-84) \]

式中\(\alpha_j\)(j=1,2...n)是待定系数。积分式中的变分量 \(\delta u\) 是积分式中的权函数

\[\delta u = \phi_i (i=1,2...n) \,(1-85) \]

4. 将式(1-84)和式（1-85）代入式（1-83），即构成以 \(\alpha_1 、\alpha_2 ... \alpha_n\) 为未知量的n个代数方程

\[\begin{equation*} \int_{\Omega} L \left( \sum^{n}_{j=1} \alpha_{j} \phi_{j} \right) \phi_{i} d \Omega = \int_{\Omega} f\phi_i d\Omega \, (1-86) (i = 1,2,...n) \end{equation*} \]

如果L是线性算子，则式（1-86）是n阶线性代数方程组

\[A_{ij}\alpha_j = b_i (i=1,2,...n) \, (1-87a) \\ A_{ij} = \int_{\Omega} L(\phi_j)\phi_jd\Omega \, (1-87b) \\ b_i = \int_{\Omega} f \phi_i d\Omega \, (1-87c) \]

5. 求解代数方程组式（1-86）或（1-87），即可获得近似解式（1-84）中的各个系数\(\alpha_1 、\alpha_2 ... \alpha_n\)。带入（1-84）中获得近似解 \(u_n\) 的表达式。