零点问题与微分不等式

零点问题与微分不等式

零点问题关注于”有没有解“，”有几个解“。

目录

• 零点问题
  • 单调性与存在性
  • 罗尔原话
  • 多项式方程的根
• 微分不等式
  • 函数的形态
  • 拉格朗日中值定理或泰勒展开
  • 常数变量化

零点问题

• 单调性与存在性
• 罗尔原话
• 多项式方程的根

单调性与存在性

可以使用零点定理证明连续函数零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性。

罗尔原话

若$f^{(n)}(x)$至多k个根，则$f(x)$至多n+k个根。

这个定理常被用来证明函数根数量的上限。

要证明罗尔原话，只需要考虑一阶导函数，剩下的高阶可以递推出来，也就是要证明：

$$\#(root \ of \ f') \leq k \Rightarrow \#(root \ of \ f) \leq k+1$$

考虑证明其逆否命题：

$$\#(root \ of \ f) > k+1 \Rightarrow \#(root \ of \ f') > k$$

在f的k+1个根分割出来的k个区间上各使用一次罗尔定理即可。

多项式方程的根

奇次多项式至少一个根。

微分不等式

• 函数形态
• 拉格朗日中值定理或泰勒展开式
• 常数变量化

函数的形态

指通过求一阶导数判断原函数的单调性，二阶导数判断一阶导数的单调性，属于高中题目的范畴

拉格朗日中值定理或泰勒展开

当要证明的不等式可以变形出$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$时，可以考虑使用。

当出现高阶导数时，可以考虑使用泰勒展开，因为泰勒展开是联系原函数和高阶导数的桥梁

常数变量化

常数变量化是一种”方法“，是”术“。如以下例题：

证明当$e<a<b$时，$b^a<a^b$。

可以变换为$\frac{\ln(b)}{b} < \frac{\ln(a)}{a}$，固定常数a，将b视为变量x，也就是证明

当$e<a<x$时，$\frac{\ln(x)}{x} < \frac{\ln(a)}{a}$。

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作者：dutrmp19
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