中值定理笔记

总共有十个定理，其中四个和函数有关，五个和导函数有关，剩下一个是积分中值定理。

目录

• 有界与最值定理
• 介值定理
• 平均值定理
• 零点定理
• 费马定理
• 罗尔定理
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理
• 泰勒展开
• 积分中值定理
• 题型归纳

有界与最值定理

当$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上连续时，$\exists m,M \in \mathbb{R}, \ s.t. \ m \leq f(x) \leq M$。

$m$和$M$分别为$f(x)$在$\lbrack a,b\rbrack$上的最小和最大值。

介值定理

当$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上连续时，$\forall\mu \in \lbrack m,M\rbrack,\ \exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ f(\xi) = \mu$。

平均值定理

这个定理比较少被介绍。

$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上连续，$a_{1} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n} < b$时，

$$\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ \ s.t.\ \ f(\xi) = \frac{f\left( x_{1} \right) + f\left( x_{2} \right) + \ldots + f\left( x_{n} \right)}{n}$$

这个定理很容易联想到介值定理，因此我们只需要证明平均值在函数的值域内即可。平均值的特点就是介于最大和最小之间，所以平均值就是一个介值，证毕。

零点定理

$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上连续， $f(a) \times f(b) < 0$时，$\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ f(\xi) = 0$。

费马定理

若$f(x)$在$x_{0}$处可导，且取极值，那么有$f^{'}\left( x_{0} \right) = 0$

证明：

可导的意思是$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = A$

以极大值为例，取极大值的意思是，在$x_{0}$的去心领域内，$f(x) < f\left( x_{0} \right)$

那么在$x_{0}$的两侧，$\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}$异号，由夹逼定理，可以得到$A = 0$。

罗尔定理

在闭区间 $\lbrack a,b\rbrack$上的连续函数$f(x)$ ，在开区间$\ (a,b)$上可导，且$\ f(a) = f(b)$ ，那么 $\exists\xi \in (a,b)$ ，使得$\ f^{'}(\xi) = 0$。

罗尔定理用费马定理证明。

费马定理说极值的导数是0，那么就是要证明，$f(a) = f(b)$时，在$(a,b)$内有极值。这就简单了，因为$(a,b)$内的值，要么全部都等于$f(a)$，要么就至少存在一个点不等于$f(a)$。这样使用最值定理，再使用费马定理。

拉格朗日中值定理

在闭区间 $\lbrack a,b\rbrack$上的连续函数$f(x)$ ，在开区间$\ (a,b)$上可导。

$$\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ \ s\text{.t.\ }f^{'}(\xi) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$$

怎么证明呢？如果要用到罗尔定理，那么我们就要构造一个函数g，有$g(a) = g(b)$，然后有$g^{'}(\xi) = 0$，这个就是结论。

把$g^{'}(\xi) = 0$和我们要证明的结论$f^{'}(\xi) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$联系起来，很自然地想到

$$g^{'}(\xi) = f^{'}(\xi) - \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = 0$$

这样反着推回去，$g(x) = f(x) - \frac{f(a) - f(b)}{a - b}x$就证明了。

柯西中值定理

$f$和$g$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$内连续，开区间$\lbrack a,\ b\rbrack$内可导，且$g^{'}(x) \neq 0$，则

$$\frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}$$

联想到泰勒定理的证明，或许我们会想着构造一个函数$h$，使得$h^{'} = \left( \frac{f}{g} \right)^{'}$

但是这样太难了。

除法对于积分来说，是一个棘手的存在，所以，我们考虑把要证明的结论做一个变形，因为除法很难，不妨考虑做乘法，有

$$\left( g(a) - g(b) \right)f^{'}(\xi) - \left( f(a) - f(b) \right)g^{'}(\xi) = 0$$

这样，构造函数

$$h(x) = \left( g(a) - g(b) \right)f(x) - \left( f(a) - f(b) \right)g(x)$$

观察到

$$h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b) = h(b)$$

是的，就是这么巧。

柯西中值定理的几何意义，就是直角坐标系下一条曲线对应的参数方程：

$$\left\{ \begin{matrix} y = f(t) \\ x = g(t) \\ \end{matrix} \right.\ $$

曲线上两点连线，总是能在两点之间找到一个点的切线，和两点连线斜率相等。

泰勒展开

设$f(x)$在点$x_{0}$处n+1阶导数存在，则对该邻域内的任何点x，$\exists\xi \in (x,\ x_{0})$，使得

$$f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!}\ + \frac{f^{(k + 1)}(\xi)\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!}$$

要证明这个定理，考虑把公式变成上面的形式，

$$g(x) = f(x) - \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!}$$

$$h(x) = \frac{\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!}$$

$$\frac{g}{h} = f^{n + 1}(\xi)$$

你说这玩意像个啥？

像泰勒，不是，下面得有区间长度

像柯西，求导一次也得不出

神秘的数字"0"

$$\frac{g(x) - g\left( x_{0} \right)}{h(x) - h\left( x_{0} \right)} = \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g^{'}\left( \xi_{1} \right)}{h^{'}\left( \xi_{1} \right)}$$

$$= \frac{f^{(1)}\left( \xi_{1} \right) - \sum_{k = 1}^{n}\frac{f^{k}\left( x_{0} \right)\left( \xi_{1} - x_{0} \right)^{k - 1}}{(k - 1)!}}{\frac{\left( \xi_{1} - x_{0} \right)^{n}}{n!}} = \frac{g^{'}\left( \xi_{1} \right) - g^{'}\left( x_{0} \right)}{h^{'}\left( \xi_{1} \right) - h^{'}\left( x_{0} \right)}$$

再使用n-1次柯西和一次泰勒

$$= \frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right) - f^{(n)}\left( x_{0} \right)}{\xi_{n} - x_{0}}$$

$$= f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)$$

这个证明我也想不到，你能想到泰勒展开和柯西中值定理的联系吗？

对于这种无穷递推的方法，我首先想到的是归纳

已知：

$$f(x) = \sum_{k = 0}^{n - 1}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!} + \frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n}}{n!},\ \ \xi_{n} \in U_{0}\left( x_{0},\delta \right)$$

欲证明

$$f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!} + \frac{f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!},\ \ \xi_{n + 1} \in U_{0}\left( x_{0},\delta \right)$$

等价于证明：

$$\frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n}}{n!} = \frac{f^{(n)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n}}{n!} + \frac{f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!}$$

此路不通，拉倒。

积分中值定理

$f(x)$在$\lbrack a,b\rbrack$上连续，存在$\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ \int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(\xi)(b - a)$

通过介值定理容易证明。

通过泰勒中值定理，构造函数$F(x) = \int_{a}^{x}{f(x)dx}$，可证明$\xi \in (a,b)$。

题型归纳

经常出证明题，参考张宇老师的教学

一般来说，经常需要构造函数。

对于神秘的数字0，还有二阶导及以上的导数，可以考虑使用泰勒展开。

对于积分，要么使用积分中值定理，要么就是对一个等式两边使用积分。

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作者：dutrmp19
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