斯特林数

在哈理工校赛 见到了一道题

 一日，崔克茜来到小马镇表演魔法。
其中有一个节目是开锁咒：舞台上有 n 个盒子，每个盒子中有一把钥匙，对于每个盒子而言有且仅有一把钥匙能打开它。崔克茜可以通过魔法，暴力打开一个盒子。崔克茜想知道，期望使用多少次魔法可以打开所有盒子，你能帮助她回答吗？

隐隐约约是要求排列中的环，后来得到一个公式 a （n） = a （n - 1）* n + （n - 1）！

                                      然后费尽心思 求出了通项公式  a (n) / n!  =  a (n - 1) / (n - 1) ! + 1 / n

                                                                              a (n) / n!  - a (n - 1) / (n - 1) ! = 1 / n

                                                                                a (2) / 2 ! - a (1) / 1 ! = 1/ 1

                                                                                 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　累加可得 a （n） = n！* （1 / 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ....  1 / n）

 

 

后来做到hdu 3625时 才知道这个是著名的斯特林数 

题目：

就是给你N个房间，然后每个房间1把钥匙，你最初手里没有任何钥匙，要靠破门而入！这里只有第一个房间不能破门进去，其他都可以，

给你房间数N，和最多能破门的个数，让你求能全部把房间打开的概率！

题目分析：

首先这题其实让我们求的是给 N个元素，让我们求K个环排列的 方法数。

斯特林第一类数的第推公式：

S（N，0）=0；

S（N，N）=1；

S（0，0）=0；

S（N，K）=S（N-1，K-1）+S（N-1，K）*（N-1）；

这个公式的意思是：

当前N-1个数构成K-1 个环的时候，加入第N个 ，N只能构成单环！---S（N-1，K-1）

如果N-1个数构成K个环的时候，加入第N个，N可以任意加入，N-1内的一个环里，所以是--（N-1）*S（N-1，K）

这个题目里，因为不能破坏第1个门：

所以

所以还要减去N-1个房间被最多K-1把钥匙打开的情况数

S（N，K）-S（N-1，K-1）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <iterator>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cctype>
using namespace std;

const int N = 21;
const int INF = 0xfffffff;

typedef long long ll;
typedef long double ld;

#define INFL 0x7fffffffffffffffLL
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rep(c, a, b) for (int c = a; c < b; c++)
#define nre(c, a, b) for (int c = a; c > b; c--)

ll str[N][N];
ll cat (int n);
void init ();

int main ()
{
   int t; init ();
   cin >> t;
   while (t--)
   {
       int n, k;
       cin >> n >> k;
       if (n == 1 || k == 0) {cout << "0.0000" << endl; continue;}
       ll sum = 0;
       for (int i=1; i<=k; i++)
        sum += str[n][i] - str[n-1][i-1];
       printf("%.4f\n", 1.0 * sum / cat(n));
   }
   return 0;
}

ll cat (int n)
{
    ll ans = 1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        ans *= i;
    return ans;
}

void init ()
{
    for (int i=1; i<21; i++)
    {
        str[i][0] = 0, str[i][i] = 1;
        for (int j=1; j<i; j++)
            str[i][j] = str[i-1][j-1] + (i-1) * str[i-1][j];
    }
}