如何判断程序的复杂程度：时间和空间复杂度

1. 时间复杂度：
使用大O表示法来表示程序的时间复杂度

常见的7种时间复杂度（复杂度由低到高排序）

O(1):常数时间复杂度

O(log(n): 对数时间复杂度

O(n): 线性时间复杂度

O(n^2):平方时间复杂度

O(n^3):立方时间复杂度

O(k^n):指数时间复杂度，k表示常数

O(n!):阶乘时间复杂度

ps：

这里我们并不考虑前边的系数；O(1) 并不表示复杂度为1，也可以 是2、3等常数；O(n)表示程序运行了n次或者2n、3n次；以此类推其他时间复杂度

时间复杂度的判断，以一段代码的最高复杂度为准；

如何判断一段代码的时间复杂度
简而言之就是看内部某段代码的执行次数

O(1):常数复杂度

int n = 1;
System.out.println(n);
1
2
int n = 1;
System.out.println(n);
System.out.println(n+1)
System.out.println(n+2)
1
2
3
4
O(n)：线性时间复杂度

for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.println(j);
}
1
2
3
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(i);
}
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.println(j);
}
1
2
3
4
5
6
O(n^2)：平方时间复杂度

for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.println(i + j);
}
}
1
2
3
4
5
O(n^3)：立方时间复杂度

for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
for (int k = 0; k < n; k++) {
System.out.println(i + j);
}
}
}
1
2
3
4
5
6
7
O(log(n))： 对数时间复杂度

这里演示的是以2为底n的对数

for (int i = 0; i < n; i = i * 2) {
System.out.println(i);
}
1
2
3
O(2^n)：指数时间复杂度

/**
* 递归求斐波那契数列的第n项；可以通过画运行树的方式获得时间复杂度
*/
int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
1
2
3
4
5
6
7
O(n!)：阶乘时间复杂度

todo
小练习1：求和计算1~n的和
O(n)

int y = 2;
for (int i = 0; i < n; i++) {
y+=i;
}
1
2
3
4
O(1)

使用了求和公式：sum = n(n+1)/2

int y = 2;
for (int i = 0; i < n; i++) {
y+=i;
}
1
2
3
4
小练习2：求斐波那契数列
O(2^n):

int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
1
2
3
4
O(n)：该方法比递归要快得多

int fib2(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
int a = 1, b = 1, result = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
result = a + b;
a = b;
b = result;
}
return result;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
主定理
主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法

常用算法中的应用
算法 递回关系式 运算时间
二分搜寻算法
二叉树遍历
最佳排序矩阵搜索(已排好序的二维矩阵)
合并排序
所有排序的最优算法都是O(nlog(n))

2. 空间复杂度
如何判断一段代码的空间复杂度
主要通过两部分进行判断：

数组的长度

如果代码中应用了数组，那么数组的长度，基本上就是空间复杂度；
e：一维数组的空间复杂度是O(n);二维数组的空间复杂度是O(n^2)

递归的深度

如果代码中有递归，那么递归的深度，就是代码的空间复杂度的最大值

ps:如果代码中既有数组，又有递归，那么两者的最大值就是代码的空间复杂度

leecode有个爬楼梯的复杂度分析情况；可以进行练习

3. 数组和链表的时间复杂度分析
数组
随机增加：O(n)
随机查询：O(1)
随机删除：O(n)

链表
随机增加：O(1)
随机查询：O(n)
随机删除：O(1)

跳表
跳跃表（skiplist）是一种随机化的数据， 由 William Pugh 在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中提出， 跳跃表以有序的方式在层次化的链表中保存元素， 效率和平衡树媲美 —— 查找、删除、添加等操作都可以在对数期望时间下完成， 并且比起平衡树来说， 跳跃表的实现要简单直观得多。

简单来说，跳跃表是有序链表的一种扩展，在有序列表的基础上进行了升维处理