序偶定义
由两个元素x和y（x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x，y>，其中x是它的
第一元素，y是它的第二元素。
有序对<x，y>；具有以下性质：
1.当x≠y时，<x，y>；≠<y，x>.
2.<x,y>=<u,v>；的充分必要条件是x=u且y=v.
这些性质是二元集{x，y}所不具备的。例如当x≠y时有{x，y}={y，x}。原因在于有序对中的元素是有序的
，而集合中的元素是无序的。
例：已知<x+2,4>=<5,2x+y>；，求x和y。
解：由有序对相等的充要条件有 x+2=5和2x+y=4 联立解得 x=3，y=-2.
笛卡尔积定义
设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合
叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.
笛卡尔积的符号化为：
AxB={<x,y>|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b},B={0,1,2},则
AxB={<a,o>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>,}
BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
笛卡尔积的运算性质
1.对任意集合A，根据定义有
AxΦ =Φ ，Φ xA=Φ
2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即
AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）
3.笛卡尔积运算不满足结合律，即
（AxB)xC≠Ax(BxC）（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即
Ax(B∪C)=(AxB）∪（AxC)
(B∪C)xA=(BxA）∪（CxA)
Ax(B∩C)=(AxB）∩（AxC)
(B∩C)xA=(BxA）∩（CxA)
推导过程
给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的
笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn={（d1，d2，…，dn）|di∈Di，i=1，2，…，n}
所有
域的所有取值的一个组合不能重复
案例
给出三个域：
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}
D3=POSTGRADUATE={
李勇，
刘晨，
王敏}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3 =
{（张清玫，计算机专业，李勇），（张清玫，计算机专业，刘晨），
（张清玫，计算机专业，王敏），（张清玫，信息专业，李勇），
（张清玫，信息专业，刘晨），（张清玫，信息专业，王敏），
（刘逸，计算机专业，李勇），（刘逸，计算机专业，刘晨），
（刘逸，计算机专业，王敏），（刘逸，信息专业，李勇），
（刘逸，信息专业，刘晨），（刘逸，信息专业，王敏） }
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。
在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；
张华高于
李明；
中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
设x，y为任意对象，称集合{{x},{x,y}}为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<x,y>；。称x为<x,y>；的第一分量，称y为第二分量。
定义
3-4.1 对任意序偶<a，b>,<c,d >,<a，b> = <c,d > 当且仅当a=c且b = d。
递归定义n元序组 <a1，…，an>
<a1，a2> ={{a1}，{a1,a2}}
<a1,a2,a3 > = { {a1}，{a1,a2},{a1,a2,a3}}
= < <a1,a2 >,a3 >
<a1，…an> = <<a1，…an-1>,an>
两个n元序组相等
< a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1，A2，…，An，
（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积（Cartesian product），定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = <u,v>；∧u ÎA1∧vÎA2)}={<u,v> | u ÎA1∧vÎA2}
（2）递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1）×An
例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç；（B×A）。
解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<；β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）Ç；（B×A）=Æ
由例题1可以看到（A×B）Ç；（B×A）=Æ
我们约定若A=Æ；或B=Æ；，则A×B=Æ；。
由笛卡尔定义可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
（A×B）×C ≠A×（B×C）
定理3-4.1 设A,B,C为任意集合，*表示 È；，Ç；或 – 运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×（B*C)=(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)
证明
¤ 当*表示 È；时，结论（1）的证明思路：（讨论叙述法）
先证明A×（B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>；∈A×（BÈC）出发，推出<x,y>；∈（A ×B) È (A×C)
再证明（A×B) È (A×C) Í A×（B È C)
从<x,y>；∈（A×B) È (A×C）出发，推出<x,y>；∈A×（BÈC)
当*表示 È；时，结论（2）的证明思路：（谓词演算法） 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A,B,C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 ：（谓词演算法）
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件，从<x,y>；∈A×C出发，推出<x,y>；∈B×C
得出（A×CÍB×C）结论。
再证明（A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用Þ；附加式，推出x∈B
得出（AÍB）结论。见P-103页。¤
定理
3-4.3 设A,B,C,D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B Í C×D的
充分必要条件是AÍ C，BÍ D
¤证明思路：（谓词演算法）
先证明充分性：A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>；∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， <x,y>；∈C×D，推出x∈C， y∈D。
再证明必要性：AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>；∈A×B出发，推出<x,y>；∈C×D。
直积
笛卡尔（Cartesian Product）乘积又叫
直积。设A、B是任意两个
集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。
