题目: 已知两个数字为1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积，甲问乙：“你知道是 哪两个数吗？”乙说：“不知道”。乙问甲：“你知道是哪两个数吗？”甲说：“也不知道”。于是，乙说：“那我知道了”，随后甲也说：“那我也知道了”，这两个数是什么？
下边是最佳答案:
1和4 或者1和7
推理1:允许两数重复的情况下
答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6
答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8
解：
设这两个数为x，y.
甲知道两数之和 A=x+y；
乙知道两数之积 B=x*y；
该题分两种情况 ：
允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；
当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)；
1)由题设条件：乙不知道答案
<=> B=x*y 解不唯一
=> B=x*y 为非质数
又∵ x ≠ y
∴ B ≠ k*k (其中k∈N)
结论(推论1)：
B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N)
即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)
证明过程略。
2)由题设条件：甲不知道答案
<=> A=x+y 解不唯一
=> A >= 5；
分两种情况：
A=5，A=6时x，y有双解
A>=7 时x，y有三重及三重以上解
假设 A=x+y=5
则有双解
x1=1，y1=4；
x2=2，y2=3
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*3=6；
得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾 ，
故假设不成立，A=x+y≠5
假设 A=x+y=6
则有双解。
x1=1，y1=5；
x2=2，y2=4
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*4=8；
得到唯一解x=2，y=4
即甲知道答案
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
故假设不成立，A=x+y≠6
当A>=7时
∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解
B1=x1*y1=2*(A-2)
B2=x2*y2=3*(A-3)
∴ 符合条件
结论(推论2)：A >= 7
3)由题设条件：乙说"那我知道了"
=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解
即：
A=x+y， A >= 7
B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
1 <= x < y <= 30
x，y存在唯一解
当 B=6 时：有两组解
x1=1，y1=6
x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=6
当 B=8 时：有两组解
x1=1，y1=8
x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=8
当 B>8 时：容易证明均为多重解
结论：
当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8
4)由题设条件：甲说"那我也知道了"
=> 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解
综上所述，原题所求有两组解：
x1=1，y1=6
x2=1，y2=8
当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；
同理可得唯一解 x=1，y=4
推理2:只有1和7
分析
因为乙先说知道，说明乙通过这个乘积可以确定一组唯一的数，而甲后说知道了，说明甲通过乙提供的信息及两数之和也能确定唯一的一组数
先看乘积
如果是1和4，则乘积为4，可分解为1*4，2*2，不是唯一的一组
如果是1和7，则乘积为7是质数，可以分解为1*7，是唯一的一组
如果是4和7，则乘积为28，可分解为，4*7，2*14，1*28，不是唯一的一组
如果是1和17，则乘积为17是质数，可分解为1*17，是唯一的一组
如果是4和17，则乘积为68，可分解为2*34（不符合条件），和4*17，是唯一的一组
如果是7和14，则乘积为98，可分解为49*2（不符合条件），和7*14，是唯一的一组
由此筛选出1和7，1和17，4和17，7和14
在看两数之和
如果是1和7，则和为8，可分解为，1+7，2+6，3+5，4+4
1、如果分解为2+6，则乘积为12，不能确定唯一的一组数相乘
2、如果分解为3+5，则乘积为15，不能确定唯一的一组数相乘
3、如果分解为4+4，则乘积为16，不能确定唯一的一组数相乘
4、如果分解为1+7，则乘积为7，能确定唯一的一组数相乘
因此1和7成立
如果是1和17，则和为18，可分解为1+17，2+16，3+15....9+9
其中，如果分解为1+17，则乘积为17，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为5+13，则乘积为65，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此1和17不成立
如果是4和17，则和为21
其中
如果分解为2+19，则乘积为38，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为4+17，则乘积为68，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立
如果是7和14，则和为21
其中
如果分解为2+19，则乘积为38，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为4+17，则乘积为68，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立
总上，只有1和7符合条件
推理3:由乙开始推理：2*2=4或1*4=4 假设是2和2的话，甲所得的数是4，那么甲就会想“2+2=4， 1+3=4，那么他（乙）就会认为我所的数是3或4，如果是3的话，那么我（甲）就知道结果 1*3=3，现在他（乙）不知道，那么只能是2*2=4，相信他（乙）现在也得出了这个结果。可是他（乙）还要反问我（甲）知不知道，那么就是说2*2=4这个结果不成立，那么只能是1*4=4
以下用VB。NET实现：
Dim NUM, SUM, PRODUCT As Int32
Dim Product1()() As Int32
Dim i, m, n, Sum1(3)() As Int32
Private Sub MyMain()
Product1 = Nothing
NUM = CInt(Me.TextBox1.Text)
GetSum1()
GetProduct1()
For m = 1 To NUM
For n = m To NUM
If SumOnly(m, n) Or ProductOnly(m, n) Then GoTo NextItem '不好意思用了个ＧＯＴＯ
SUM = m + n
PRODUCT = m * n
'甲的和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
If SUMtoPRODUCT_N_2(SUM) < 2 Then GoTo NextItem
'乙的积产生的和中有且只有一个满足1、不是唯一和 2、和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
'并且其余的和均满足 1、不是唯一和 2、有n－1个唯一积
If PROCUCTtoSUM(PRODUCT) Then
MsgBox(m.ToString() & " " & n.ToString())
End If
NextItem: Next
Next
End Sub
Private Sub GetSum1()
'产生唯一和并保存在数组中
ReDim Sum1(0)(1)
Sum1(0)(0) = 1
Sum1(0)(1) = 1
ReDim Sum1(1)(1)
Sum1(1)(0) = 1
Sum1(1)(1) = 2
ReDim Sum1(2)(1)
Sum1(2)(0) = NUM - 1
Sum1(2)(1) = NUM
ReDim Sum1(3)(1)
Sum1(3)(0) = NUM
Sum1(3)(1) = NUM
End Sub
Private Function SumOnly(ByVal N1 As Int32, ByVal N2 As Int32) As Boolean
'判断是否为唯一和
Dim i As Int32
For i = 0 To 3
If N1 = Sum1(i)(0) AndAlso N2 = Sum1(i)(1) Then Return True
Next
Return False
End Function
Private Sub GetProduct1()
'产生唯一积并保存在数组中
Dim tmp(NUM * NUM)() As Int32
For m = 1 To NUM '????????????????
For n = m To NUM '??????????????
Dim meme() As Int32 = tmp(m * n)
If meme Is Nothing Then
ReDim meme(2)
Else
ReDim Preserve meme(meme.Length + 1)
End If
meme(meme.Length - 1) = m
meme(meme.Length - 2) = n
meme(0) += 1
tmp(m * n) = meme
meme = Nothing
Next
Next
For i = 1 To NUM * NUM
If Not tmp(i) Is Nothing AndAlso tmp(i)(0) = 1 Then
For m = 1 To tmp(i).GetUpperBound(0) Step 2
If Product1 Is Nothing Then
ReDim Product1(0)
ReDim Product1(0)(1)
Else
ReDim Preserve Product1(Product1.Length)
ReDim Product1(Product1.Length - 1)(1)
End If
Product1(Product1.Length - 1)(0) = tmp(i)(m)
Product1(Product1.Length - 1)(1) = tmp(i)(m + 1)
Next
End If
Next
End Sub
Private Function ProductOnly(ByVal N1 As Int32, ByVal N2 As Int32) As Boolean
'判断是否为唯一积
Dim i As Int32
For i = 0 To Product1.GetUpperBound(0)
If N1 = Product1(i)(1) AndAlso N2 = Product1(i)(0) Then Return True
If N1 = Product1(i)(0) AndAlso N2 = Product1(i)(1) Then Return True
Next
Return False
End Function
Private Function SUMtoPRODUCT_N_2(ByVal SUM As Int32) As Int32
'甲的和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
Dim n As Int32 = CInt(SUM / 2 - 0.2)
Dim i, m As Int32
For i = 1 To n
If ProductOnly(i, SUM - i) Then m += 1
Next
Return n - m
End Function
Private Function PROCUCTtoSUM(ByVal PRODUCT As Int32) As Boolean
'乙的积产生的和中有且只有一个满足1、不是唯一和 2、和产生的积中最多有（n -2）个是唯一积
'并且其余的和均满足 1、不是唯一和 2、有n－1个唯一积
Dim tmp()(), i, m, n As Int32
'1、分解积看能产生多少个和
For i = 1 To CInt(Math.Sqrt(PRODUCT) - 0.4)
If PRODUCT Mod i = 0 Then
If tmp Is Nothing Then
ReDim tmp(0)
ReDim tmp(0)(2)
Else
ReDim Preserve tmp(tmp.Length)
ReDim Preserve tmp(tmp.Length - 1)(2)
End If
tmp(tmp.Length - 1)(2) = PRODUCT / i
tmp(tmp.Length - 1)(1) = i
If Not SumOnly(tmp(tmp.Length - 1)(1), tmp(tmp.Length - 1)(2)) And SUMtoPRODUCT_N_2(i + PRODUCT / i) >= 2 Then
'和不为唯一和，且和产生的积中支多有n－2个是唯一积
tmp(tmp.Length - 1)(0) = 1
End If
If SumOnly(tmp(tmp.Length - 1)(1), tmp(tmp.Length - 1)(2)) Then
'唯一和
tmp(tmp.Length - 1)(0) = 3
End If
If Not SumOnly(tmp(tmp.Length - 1)(1), tmp(tmp.Length - 1)(2)) And SUMtoPRODUCT_N_2(i + PRODUCT / i) = 1 Then
'不是唯一和，但是有n－1个唯一积
tmp(tmp.Length - 1)(0) = 2
End If
End If
Next
Dim count As Int32 = 0
For i = 0 To tmp.Length - 1
If tmp(i)(0) = 0 Then Return False
If tmp(i)(0) = 1 Then count += 1
Next
If count <> 1 Then Return False
Return True
End Function
