流形、向量场与分布 -- 简述
进入研究室之后做的第一次学习汇报内容，一共分三则叙述，加油打工人！
流形
先说定义。据 Wikipedia - 流形 , 流形被定义为 “可以局部欧几里得空间化的一种拓扑空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广”。
对于欧几里得空间，一般认为标准欧几里得空间是四维及以上的空间，而我们接触得最多的其实是二维和三维的欧几里得空间，也就是我们常见的以平面直角坐标系和空间直角坐标系定义的空间（Wikipedia - 欧几里得空间 ）。这表明只要满足”局部可欧几里得空间化“，便可称之为“流形”（欧几里得空间的曲线、曲面等概念是一类特殊的流形）。
再简单地说，流形可以简单地视作 “可以通过把许多平直的面折弯粘贴而成的一种空间结构”，这里的 ”平直的面“ 就是我们所说的局部欧几里得空间。举例来说，地球表面就可看作是一个流形，各个地区的地图则为所谓的“局部欧几里得空间”，合订成一本地图集就可以重新拼接出地球表面这一流形。（Wikipedia - 流形）
另一种观点是，高维空间的对象可以看作是低维流形向高维嵌入得到的。反过来看，高维空间的物体进行降维便可以得到低维流形。比如说，圆是二维空间的一维流形（对于一个给定圆心坐标和半径的圆来说，它上面的每一个点都可以利用极坐标方程中的一个角度参数确定），同理，球面是三维空间的二维流形。（它在极坐标中仅仅需要两个角度参数就可以确定球面上任意一点的坐标。）
更一般地，流形也并不一定是连通和闭合的，它也可以是两个圆、一条抛物线等等。不过，流形有一个突出的特点就是，流形上的任意两点之间的距离通常不能直接利用欧氏距离衡量（除了平面），而需要遵循流形的几何约束。一个简单的例子就是，飞机航线距离不是直接测量两地之间的直线距离，而是由沿着地球表面的弧线长进行计算得到的。Wikipedia - 流形
给出流形的数学定义：
在 \(R^n\) 空间中，集合元素个数为 p 的光滑向量值函数 h 的零集合，定义了一个维度为 m = n – p 的流形。
举例来说，对于 \(R^n=3\) 空间中的单位球面，可以由方程 \(h(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1= 0\) 定义，故称该球面为 \(R^n=3\) 中一个维度为 \(m = n – p = 3 – 1 = 2\) 的流形。
向量场
先说定义，据 Wikipedia - Vector field ,向量场是将空间中每一点均指派到一个向量的映射。
一个简单的例子，在平面直角坐标系中，任意一点均可以由坐标 (x, y) 确定，下面我们通过一个点坐标来表示向量场中的一个向量。以点 (3, 3) 为例，将该点作为向量的起点，将函数 \(f(x, y) = col(-x,-y)\) 作用于该点，得到点 (-3, -3)，连接这两个点就得到了向量的方向，而向量的模则由函数 f(x, y) 的作用结果取模得到。通过对平面内所有点均作这样的操作，便可以得到一个由 f(x, y)表示的向量场。需要注意的是，通常情况下，向量场中的向量模长并不是与实际相符的，而是按照一定比例缩放以使得画面看起来更加清晰简洁。
还有一个向量场的实例是利用铁粉显形的磁场，这里的铁粉便可以看作向量场中的每个向量。
给出（余）向量场的数学定义：
流形 M 上的一个 光滑向量场 是一个无限可微的 列 向量函数 f ：\(col[f_1(x), f_2(x), ... , f_m(x)]\)
流形 M 上的一个 光滑余向量场 是一个无限可微的 行 向量函数 w：\(row[w_1(x), w_2(x), ... , w_m(x)]\)
需要注意这里加了修饰词 “光滑”，因此是特别要求该向量场是无限可微的。
对于一个流形来说，它的表面可以有很多不同的向量场，对其求偏导便可以得到沿各个方向的不同向量场。
分布
特别说明，这里的（合场）分布，是在向量场的概念上进行定义的。据《机器人建模和控制》P184（Mark W.Spong 等著，贾振中 等译）：
流形 M 上的一个 分布 Δ 是流形 M 上在各点线性独立的向量场 \(X_1(x) , … , X_k(x)\) 的线性组合：
\[\Delta = span\{X_1(x) , … , X_k(x)\} \]流形 M 上的一个 合场分布 Ω 是流形 M 上在各点线性独立的余向量场 **W_1(x) , … , W_k(x)$ 的线性组合：
\[\Omega = span\{W_1(x) , … , W_k(x)\} \]
我们知道，两个线性无关的向量可以组成一个平面的基向量。对于位于流形上任意一点来说，在该点可以存在包含于若干向量场的向量的线性组合，即通过分布 Δ 可以得到流形上每个点附近的一个个子空间。那么这里就有一个问题，是不是成员足够多的分布就能够组成一个原来完整的流形呢？，组会上我提出了这个问题。导师和师兄认为这样说没问题。不过据师兄说，这个说法在某些书上，其实可认为是流形的另一定义，即 “流形可视作由足够大小的分布构成的一类拓扑结构”。
下一篇是李导数、李括号及 Frobenius 定理的阐述。
参考资料
【1】Wikipedia - 流形
【2】Wikipedia - 欧几里得空间
【3】Vector field - Wikipedia
【4】Mark W.Spong 等著，贾振中 等译，《机器人建模和控制》第十章
拓展资料
【1】]千里积于跬步——流，向量场，和微分方程[转载]
【2】manifold 微分流形上可以定义可微函数 ...
【3】向量场的介绍
【4】数据可视化之风向图
【6】Vector 和 Covector
