蓝桥杯-迷宫寻宝-记忆化的DFS？

标题：地宫取宝

    X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
    地宫的入口在左上角，出口在右下角。
    小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
    走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

    当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

    请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

【数据格式】

    输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
    接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
    要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1

程序应该输出：

2

再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14


资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗  < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

 

思路：

首先写出状态转移方程，我们要求的解是从原点手握价值最大的宝物V开始经过不同的路径到终点获得K件宝物的路径总数。我们姑且将此状态记为

dp（i,j,k,v）(其中ij表示所在位置坐标，k初始化为0，表示还没有拿到宝贝，v初始化为-1，表示此时手上还没有宝物)

那么从此状态出发，可以将其转移为如下的决策：

 

状态转移方程可以方便将原问题分解成若干个与原问题相同的子问题，且规模变小

第二个问题，如果仅仅这样的话，必然存在重复计算的问题，为此必须要采取记忆化搜索的方式，对于已经计算过的结点保存其值

，就这个题目而言，必须需要用一个四维数组保存，因为它的状态位跟位置、个数、以及当前最大的宝物价值有关，当重复遍历这个结点时，直接传值。

第三个问题，需要注意到的细节

1、类型用long long稳妥，因为即使mod了，但是如果两个数加起来还有可能超过int。

2、因为有可能以某种方式走的状态就是无解，就是值为0，因此必须将初始化赋值为-1。

3、对于有宝物的初始价值-1，比较好的处理方式是，最后存放的是第四维的小标后移一位。

4、这里还要注意，k最多是13，不会超过这个值，所有第三维只要14就够了。

代码：

 

#include <string.h>
#define MAXN 60
#define MOD %1000000007 
long long r[MAXN][MAXN][15][15];//保存状态 ,四维数组就是将每一个状态值都先初始化，然后在后面如果改变了，如果下一次有用到这个状态，那么直接用就好了。
long long map[MAXN][MAXN];//初始地图 
long long n,m,k;

long long  dfs(long long  x,long long  y,long long num,long long v)
{  //V表示当前最大值
    if(r[x][y][num][v+1] != -1)
    {    
        return r[x][y][num][v+1];
    }
    long long  t = 0;//初始化
    if(x == n && y == m)
    {  //到了右下角
        if(map[x][y] > v)
        {
            if(num == k|| num == k-1) ++t; //可以拿也可以不拿
        }
        else if(num == k) 
             ++ t;  //表示不拿
        return r[x][y][num][v+1] = t;  //因为初始参数是-1，所以要加1
    }
    if(x+1<=n)
    {  //向下
        if(map[x][y] > v)
        {
            t += dfs(x+1, y, num+1, map[x][y]);
            t = t MOD;
        }
        t += dfs(x+1, y, num, v);
        t = t MOD;
    }
    if(y+1<=m)
    { //向右
        if(map[x][y] > v)
        {
            t += dfs(x, y+1, num+1, map[x][y]);
            t = t MOD;
        }
        t += dfs(x, y+1, num, v);
        t = t MOD;
    }
    r[x][y][num][v+1] = t;  //记忆化
    return r[x][y][num][v+1];
}



int main()
{
    memset(r,-1,sizeof(r));
    long long i,j,p,q;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            scanf("%lld",&map[i][j]);
    dfs(1,1,0,-1);
   printf("%lld\n",r[1][1][0][0]);    
    return 0;
}