设f(x)为a2 + b2 = x2的整数解的个数(可以是负数)
BZOJ 1041: 求f(x)
PE 233: 求n<=1011中有多少个数f(x)=420
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首先观察并思考
我们首先去掉a/b=x/-x 的四个解,然后除以4(考虑a,b都是正数的情况)
再不妨假设a<b,那么这就是g(x)
f(x)=8*g(x)+4
我打了一个表,其中发现:
g(5)=1 g(25)=2 g(125)=3 g(625)=4 .....
g(13)=1 g(17)=1
g(65)=4 g(85)=4
1105 = 5*13*17
g(1105)=13 (这个真的很震撼,当时推了好久没看出来为啥是13)
我尝试了g(13*25)=7
g(13*125)=10
g(13*625)=13
(再大表就跑不动了)
g(25*169)=12
最后猜了
g(a*b) = g(a) + g(b) + 2*g(a)*g(b)
(gcd(a,b)=1)
以及g(%4=1的质数)=1
g(%4=2/3的质数)=0
g(pk)=k*g(p)
所以我们要问有几个x
g(x)=52
我们定义a (+) b表示 a+b+2*a*b
那么
52 = 1 (+) 2 (+) 3
= 10 (+) 2
= 7 (+) 3
一共有3个可行的分配方案,直接暴力就行了
#include<set>
#include<map>
#include<list>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<memory>
#include<utility>
#include<fstream>
#include<stdio.h>
#include<sstream>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
/*
int f[10005];
//const int five_tweleve=244140625;
void dfs(int x)
{
int i,j;
for (i=1;i<=x;i++)
{
for (j=i;j<=x;j++)
{
if ((i+j+i*j+i*j==x))
{
printf("%d %d %d\n",i,j,x);
dfs(i);
dfs(j);
}
}
}
}
bool isprime(int x)
{
int i;
for (i=2;i*i<=x;i++)
{
if (x%i==0) return false;
}
return true;
}
*/
bool prime[10000005];
bool unnum[10000005];
long long ssum[10000005];
const long long max_n=100000000000ll;
long long power(int x,int y)
{
long long p=1;
int i;
for (i=0;i<y;i++)
{
p*=x;
if (p>max_n) return p;
}
return p;
}
vector<int> v;
int main()
{
freopen("output.txt","w",stdout);
int i;
memset(prime,true,sizeof(prime));
prime[1]=false;
const int n=10000000;
for (i=2;i<=10000;i++)
{
if (prime[i])
{
int j;
for (j=i*i;j<=n;j+=i)
{
prime[j]=false;
}
}
}
for (i=5;i<=n;i+=4)
{
if (prime[i])
{
v.push_back(i);
int j;
for (j=i;j<=n;j+=i)
{
unnum[j]=true;
}
}
}
for (i=1;i<=n;i++)
{
ssum[i]=ssum[i-1];
if (!unnum[i]) ssum[i]+=i;
}
unsigned long long ans=0;
long long p=1;
for (i=0;i<(int)v.size();i++)
{
p=power(v[i],7);
if (p*5*5*5>max_n) break;
int j;
for (j=0;j<(int)v.size();j++)
{
if (i==j) continue;
long long k=power(v[j],3);
if (p*k>max_n) break;
ans+=ssum[max_n/(p*k)]*p*k;
}
}
for (i=0;i<(int)v.size();i++)
{
p=power(v[i],10);
if (p*5*5>max_n) break;
int j;
for (j=0;j<(int)v.size();j++)
{
if (i==j) continue;
long long k=power(v[j],2);
if (p*k>max_n) break;
ans+=ssum[max_n/(p*k)]*p*k;
}
}
for (i=0;i<(int)v.size();i++)
{
p=power(v[i],3);
if (p*5*5*5>max_n) break;
int j;
for (j=0;j<(int)v.size();j++)
{
if (i==j) continue;
long long k=power(v[j],2);
if (p*k*5>max_n) break;
int l;
for (l=0;l<(int)v.size();l++)
{
if (l==j) continue;
if (l==i) continue;
long long t=v[l];
if (p*k*t>max_n) break;
ans+=ssum[max_n/(p*k*t)]*p*k*t;
}
}
}
cout<<ans<<endl;
//dfs(52);
//1 + 2 + 3 = 52
//2 + 10 = 52 (13^10 overflow)
//3 + 7 = 52
/*
int i;
//int n=100000000000ll/five_tweleve;
int n=10000;
int ans=0;
for (i=2;i<=n;i++)
{
int j;
f[i]=0;
if (!isprime(i)) continue;
for (j=1;j<i;j++)
{
int t=sqrt(i*i-j*j);
if (t*t+j*j==i*i)
{
f[i]++;
printf("%d %d %d\n",t,j,i);
}
}
printf("%d %d i%%4 = %d\n",i,f[i]/2,i%4);
if ((f[i]==(420-4)/4/13)&&(i%5!=0))
{
//ans+=i;
}
}
//cout<<ans*(long long)five_tweleve<<endl;
*/
return 0;
}
附:BZOJ 1041:
#include<set>
#include<map>
#include<list>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<memory>
#include<utility>
#include<fstream>
#include<stdio.h>
#include<sstream>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int adds(int x,int y)
{
return x+y+x*y+x*y;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
int i;
int ans=0;
for (i=2;i*i<=n;i++)
{
if (n%i==0)
{
int now=0;
for (;n%i==0;)
{
now++;
n/=i;
}
if (i%4==1)
{
ans=adds(ans,now);
}
}
}
if ((n!=1)&&(n%4==1))
{
ans=adds(ans,1);
}
printf("%d\n",ans*8+4);
//system("pause");
return 0;
}
