转自小驰的博客。去年认识的小驰，当时水平还差不多，现在我被远远甩在了后面，悲哀！
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两道好玩的问题及我对“贪心思想”看法
贪心是一种思想，所以我感觉给它下严格的定义不太合理。//要细致地研究它严格的定//义当然是必不可少的
在最优化问题中，贪心思想指每次决策都选择当前最优解，而不用考虑全局的情况。
贪心法是一种很高效的算法，但是容易知道贪心算法不一定正确，即从局部最优解不一定能够构造出全局最优解。
所以说，贪心的难点之一便是 贪心 正确性的证明。
总结出什么样的问题是能够用贪心法解决 是一件很困难的事情，不过大神们也弄出了一套名为“矩阵胚”的理论，矩阵胚用于贪心正确性的证明，但是貌似这套理论并没有涵盖所有的贪心问题（当然涵盖了相当大一部分），且太过于抽象（我看一点简单的部分都很吃力）。
下面是一个很好玩的问题：
例1：潜水比赛
在马其顿王国的Ohide湖里举行了一次潜水比赛，其中一个项目是高山上跳下水，再潜水到达终点。这是一个团队项目，一支队伍由N个人组成。在潜水时必须 使用氧气瓶，但是每支队伍只有一个氧气瓶。最多两人同时使用一个氧气，但此时两人必须同步游泳，因此两人到达终点的时间等于较慢的一个人单独游到终点所需 要的时间。好在大家都很友好，因此任何两个人都愿意一起潜水。安排一种潜水的策略，使得最后一名选手尽量早地到达终点。
分析：考虑四个人的情况，假设游泳速度从小到达排为 a1，a2，a3，a4，最优情况有两种可能：
1． a1，a2潜过去，a1带着瓶子回来，a1，a3潜过去，a1带着瓶子回来，a1，a3潜过去，a1带着瓶子回来，a1，a4潜过去。
2． a1，a2潜过去，a1带着瓶子回来，a3，a4潜过去，a2带着瓶子回来，a1，a2潜过去
所以说刚看到这个问题的时候其实很难把它和贪心联系到一起，但是它实际上是可以用贪心解决的。//起码我是在知道它可以用贪心解之后才设计出这个问题的贪心 //算法的
这题的具体作法稍后再说，下面说一下我对应用贪心思想的看法
我感觉贪心思想的应用很灵活，很有可能一个 贪心可解的问题 我们却意识不到它是贪心可解的（如例一），要用好贪心思想，我觉得除了学好基础理论知识之外，最重要的是多去试，然后灵敏的直觉也是非常重要的。
接下来说例一的具体作法与证明：
为了说明方便先给几个定义：
湖的两岸 ：A岸，B岸，目的：从A岸转移到B岸
集合P：当前在A岸上的人，并把他们从小到大排序成：P[1]，p[2]…..
集合Q：当前在B岸上的人，并把他们从小到大排序成：Q[1]，Q[2]….
所有人的集合S，按速度从小到大排序成：S[1]，s[2]，s[3]。。。。
性质1：从B岸带氧气瓶回A岸的人一定是Q[1]//反证法易证
性质2：某次从A岸渡至B岸的两个人有两种情况：
a． 包含p[1]
b． 不包含p[1]，但此次过去B岸的两个人不在回A岸
b情况的证明：反证法，可构造更优的情况
性质3：若速度最快的两个人均在A岸，则下一次一定是 P[1]，p[2]前往B岸
证明：有两种情况：
a． 当前情况下的p[2]在之后的某一次与当前情况下的p[1]第一次前往B岸，此种情况与性质3中的描述等价（有点拗口，但是稍微画一下应该能懂）
b． P[2]与p[I ]（I ！=1）前往B岸，此情况与性质1，性质2矛盾。
性质4：若p[2]不与p[1]一起前往B岸，那么P[2]一定与p[3]前往B岸。
证明：反证，此性质其实是前三个性质的推论。
根据上述性质很容易设计出贪心算法。
每次考虑当前A岸的情况：
1． S[1]，S[2]在A岸，则S[1]，S[2]前往B岸并由S[1]带氧气瓶回A岸
2． S[1]在A岸，S[2]在B岸
If（v[p[2]]+v[s[1]]+v[p[3]]<v[p[3]]+v[s[2]]+v[s[2]]）
则由s[1]，p[2]过岸，s[1]带氧气瓶回来，s[1]，s[4]过岸
Else
P[2]，p[3]过岸，s[2]带氧气瓶回来，s[1]，s[2]过岸
至此，此问题已经圆满解决。（另外，此题传说还有一个基于数学归纳法的证明方法，不过我不是很喜欢^^）
在上题的证明中，我并没有用到矩阵胚理论，也许在不是特别难的情况下，不用矩阵胚证明也是可行的//用矩阵胚证明实在是太抽象了^^
下面有一个直觉上就贪心可解的例题，也很好玩。
例二：最优布车方案
“阶梯”型棋盘是指：每行的格子只出现在一些连续的列上，从第二行开始，每行的起始列不小于上一行的起始列数，且终止列数也不小于上一行的终止列数。
给出一个阶梯形棋盘。放上尽量少的车，使其能控制棋盘上所有的格子，每个车能控制其同行与同列的格子。
分析：这题贪心算法如下（易证明，但并不一定那么容易想^^）：
从上到下扫描每一行
1． 若该行上所有格子均已被控制，则不在这一行上放车。
2． 若该行上存在未被控制的格子，则在该行未被控制的格子中的最后一个放上车。
稍微观察一下可以发现，这个问题有一个很重要的性质，明显的偏序性（严格定义在离散数学抽象代数那一章），“序”是一个很神奇的东西，许多算法基于序，许多问题一旦引入“序”之后便迎刃而解，我想这也是排序算法之所以使用广泛的原因。“序”在优化算法方面有着很大的作用（“序”的神奇之处当然远非这些，我认为值得深究^^）。
回到“贪心思想”，一旦发现了一个问题有着明显的“序”关系，那么，很有必要尝试为其设计一下贪心算法，我认为这是一个很重要的经验。（另外，此题也可以用二部图匹配来做，这个思路也很神奇~~）。
总结：贪心思想 应用很广泛，所以我只能管中窥豹见一斑。。
