线性dp：最长上升子序列

最长上升子序列

• 本文与leetcode300.最长递增子序列，这题题意一样，阅读完本文可以挑战一下

力扣链接

题目叙述：

给定一个无序的整数数组，找出其中最长上升子序列（LIS）的长度。

输入：

[5,7,1,9,4,6,2,8,3]

输出

4

解释

• 最长上升子序列是[1，4，6，8]，其长度为4。

动态规划的设计：

• 首先，我们对数组进行下标的映射，我们从下标为1的位置开始计数

• 并且，我们计算以每一个元素a【i】为结尾的最长上升子序列的长度f【i】。

• 由上面这张图我们可知，最长的上升子序列可以由前面的状态推出，因此我们可以考虑使用动态规划算法

状态变量dp的含义：

• 我们在这里数组名用f，而不用dp
• f[i]代表以a[i]为结尾的最长上升子序列长度
• 初始条件为f[i]=1

递推公式：

• 我们需要一个j指针，每次遍历到a【i】时，我们都需要j指针，从1开始移动，移动到i-1的位置，如果发现a[i]>a[j]，那么我们就更新f【i】的值，不过还得判断一下f【j】+1与f【i】的大小关系。

for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<i;j++){
        if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }
    //ans为最终的最大上升子序列的长度
    ans=max(ans,f[i]);
}

遍历顺序：

• 因为我们的状态变量f[i]是由f[j]决定的，所以说我们的遍历顺序显然是从前向后遍历

如何初始化？

• 在上面已经说了：f[i]=1，因为每个数字至少都有以本身为序列的最长上升子序列。

举例打印dp数组

• 下标 ：1，2，3，4，5，6，7，8，9

• a【i】：5，7，1，9，4，6，2，8，3

• f【i】 ：1，2，1，3，2，3，2，4，3

递推式满足的条件

• 由小推大（最优子结构）
• 由过去推现在（无后效性）

疑问：

• f【i】记录以a【i】为开头的最长上升子序列可以吗？——可以，不过遍历顺序就是从后向前遍历，递推式也需要改变改变，这里读者可以自行推理！
• f【i】记录前i个数的最长上升子序列的长度，可以吗？——不可以，举例两个就可以发现明显错误的反例，因此不成立。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N=1010;
int n, a[N];
int f[N];

int main(){
  cin>>n;
  for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
  
  for(int i=1; i<=n; i++) f[i]=1;
  for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<i; j++)
      if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
  
  int res=0;
  for(int i=1; i<=n; i++) res=max(res,f[i]);
  cout<<res;
}