二、投影变换
1、平面几何投影
投影变换就是把三维物体投射到投影面上得到二维平面图形。
【计算机绘图是产生三维物体的二维图象，但屏幕上绘制图形的时候，必须在三维坐标系下考虑画法。】
常用的投影法有两大类
两种投影法的本质区别在于【透视投影】的投影中心到投影面之间的距离是【有限的】，而【平行投影】的投影中心到投影面之间的距离是【无限的】。
（1）中心（透视）投影
透视投影是3D渲染的基本概念，也是3D程序设计的基础。
其中的[p,q,r]能产生透视变换的效果
1、透视基本原理
因为一条直线段是由两点确定，多边形平面由围城该多边形的各顶点和边框线段确定，而任何立体也可以看成是由它的顶点和各棱边所构成的一个框体。也就是说，可以通过求出这些【顶点的透视投影】而获得空间【任意立体的透视投影】。
三维世界的物体可以看作是由点集{Xi}构成的，这样依次构造起点为E，并经过点Xi的射线Ri，这些射线与投影面P的交点集合便是三维世界在当前视点的透视图。
投影线均通过投影中心，在投影中心【相对】投影面【确定的】情况下，空间的一个点在投影面上只存在【唯一一个】投影。
2、一点透视
先假设q≠0，p=r=0。然后对点(x,y,z)进行变换
图70
对其结果进行齐次化处理得：
A、当y=0时，有
说明处于y=0平面内的点，经过变换以后没有发生变化
B、当y→∞时，有
说明当y→∞时，所有点的变换结果都集中到了y轴上的1/q处，即所有平行于y轴的直线将延伸相较于(0,1/q,0)，该点称为【灭点】，而像这样形成一个灭点的透视变换称为【一点透视】。
同理可知，当p≠0，q=r=0时，则将在x轴上的1/p处产生一个灭点，坐标为(1/p,0,0)，在这种情况下，所有平行于x轴的直线将延伸交于该点。
同理，当r≠0,q=p=0时，则将在z轴上的1/r处产生一个灭点，其坐标为(0,0,1/r)，这种情况下，所有平行于z轴的直线将延伸交于该点。
【一点透视投影实例】
假设视点（投影中心）在z轴上（z=-d处），投影面在xoy面上，则一点透视的步骤如下：
（1）将三维物体平移到适当位置l,m,n
（2）进行透视变换
（3）最后，为了绘制方便，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。
三维物体中任何一点（x,y,z）一点透视变换的矩阵形式：
3、多点透视
根据一点透视的原理，推广，如果p,q,r三个元素中有两个为非零元素时，将会生成两个灭点，因此，得到两点透视。
当p≠0，r不等于0，结果为：
经过齐次化处理结果为：
当x→∞时，一个灭点在x轴上的1/p处
当z→∞时，一个灭点在z轴上的1/r处
同理，当p,q,r三个元素全为非零时，结果将会产生三个灭点，从而形成三点透视，产生的三个灭点分别在x轴上的1/p处，y轴的1/q处和z轴上的1/r处。
【二点透视投影图的生成实例】
（1）将物体平移到适当位置l,m,n
（2）将物体绕y轴旋转θ角
（3）进行透视变换
（4）最后向xoy面做正投影，即得二点透视图
变换矩阵形式为：
【三点透视投影图的生成实例】
（1）将物体平移到适当位置
（2）将物体绕y轴旋转θ角
（3）再绕x轴旋转α角
（4）进行透视变换
（5）最后向xoy面做正投影，即得三点透视图
变换矩阵形式为：
4、生成透视投影图的方法
假定投影中心在z轴上（z=-d处）就是点C（0,0,-d），投影面在面xoy上，与z轴垂直，现在求空间一点p（x,y,z）的透视投影p'(x',y',z')点的坐标。
三角形ABC和A'OC、APC和AP'C相似，可知：
x'/x=y'/y=d/(d+z) ——>x'=x/(1+(z/d)),y'=y/(1+(z/d)),z'=0
——>（1）透视坐标与z值成反比，即z值越大，透视坐标值越小
（2）d的取值不同，可以对形成的透视图有放大和缩小的功能，当值较 大时，形成的透视图变大，反之缩小。
变换过程写为变换矩阵形式为：
然后再乘以像投影面投影的变换矩阵，就得到了点在画面上的投影
由上式可以看出【透视投影的特性：透视缩小效应】。
三维物体透视投影的【大小与物体到投影中心的距离成反比】，即透视缩小效应。这种效应所产生的视觉效果十分类似于照相系统和人的视觉系统。
若投影中心在无穷远处，则1/d→0，上式变为平行投影。
【透视投影特点】
物体的投影视图由计算投影线与观察平面之交点而得。
透视投影生成【真实感试图】但【不保持相关比例】。
透视投影比轴测图更富有立体感和真实感。
【透视投影图】是用【中心投影法】形成的，【视点在有限远处】。
