https://codeforces.com/contest/1330/problem/D
给出d,m, 找到一个a数组,满足以下要求:
a数组的长度为n,n≥1;
1≤a1<a2<⋯<an≤d;
定义一个数组b:b1=a1, ∀i>1,bi=bi−1⊕ai ,并且 b1<b2<⋯<bn−1<bn ;
求满足条件的a数组的个数并模m;
人话:求一个a数组满足递增,并且异或前缀和也递增 ,求出a数组个数mod m。
太菜了,不会,看了很多题解才会的,这里总结一下:
参考官方题解 https://codeforces.com/blog/entry/75559
首先思考数组递增并且前缀异或和也递增(异或运算:不进位加法 1^1=0,1^0=1,0^0=0),那么就必须满足后面一个数二进制的最高位1的位置大于前面一个数的二进制的最高位1的位置,我们来看下为什么,假如最高位和前一个相同,那么前缀异或和最高位的1就消掉了,肯定会变小,最高位比前一个低,那这个数就比前一个数小了,不满足数组递增,所以要比前一个数的最高位高。
每个数1的最高位 h(ai)=v, v代表ai的最高位,例如:h(1)=0,h(2)=h(3)=1, and h(4)=h(7)=2。
找出每个最高位的个数,例如 h(ai)=v,ai的最高位为v,找到最高位为v的区间,[2v,2(v+1)−1] ,还要注意一个边界问题,不能大于d,所以为:[2v,min(2(v+1)−1,d)],那么个数就为 min(2(v+1)−1,d)-2v+1,最后再加上不选的一种情况,最后为min(2(v+1)−1,d)-2v+1+1。然后分组,把最高位相同的分在一起,每一次都从一个组里面选择一个数或者不选,来组成a数组,就是把每个最高位的个数都乘起来(不选的情况我把它算进最高位的个数里面了),再减掉全部不选的情况,就好了。
例如:d=6,最高位为0的有1个,那么我们有两种选择,选1或者不选;最高位为1的有2个,那么我们有三种选择,选2或者3或者不选,最高位为2的有3个,那么我们有四种选择,选4或者5或者6或者不选;然后组合在一起,里面有全部不选的一种情况,所以最后结果要减1,即:2*3*4-1=23.
写得很啰嗦,因为我看了好久才看懂 ~~
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=1e5+5; const int mod=1e9+7; typedef long long ll; //typedef __int128 LL; const int inf=0x3f3f3f3f; const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { ll d,m; scanf("%lld%lld",&d,&m); ll ans=1; for(int i=0;i<=32;i++) { if(d<(1<<i))break; ans=(ans*(min(d,(1ll<<(i+1))-1)-(1<<i)+1+1))%m; } ans--; if(ans<0)ans+=m; printf("%lld\n",ans); } return 0; }
还有一种递推的方法,参考博客:https://www.cnblogs.com/AaronChang/p/12635428.html
用一个cnt[i]数组来记录每个最高位的个数,每次选择了一个数之后就从后面的数中选择;
dp[i]表示二进制的最高位1在前i位(包含第i位)的方案数之和,dp[i]=dp[i-1]+dp[i-1]*cnt[i]+cnt[i] ,(只单独取cnt[i]也可以)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=1e5+5; const int mod=1e9+7; typedef long long ll; //typedef __int128 LL; const int inf=0x3f3f3f3f; const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll dp[40],cnt[40]; int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { ll d,m; scanf("%lld%lld",&d,&m); ll a=d,idx=0,t=1; while(a) { cnt[++idx]=min(d-(t-1),t);//下标从1开始,方便dp数组 t<<=1; a>>=1; } for(int i=1;i<=idx;i++)dp[i]=((dp[i-1]+(dp[i-1]*cnt[i])%m)%m+cnt[i])%m; printf("%lld\n",dp[idx]); } return 0; }