组合数的定义

组合数的定义：

组合数表示从 $ n $ 个不同的元素中，选取 $ m $ 个元素的不同选择方式，不考虑顺序。记为 $ C(m, n) $ 或 $ \binom{n}{m} $。

数学定义为：

\[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]

其中：

• $ n! $ 是 $ n $ 的阶乘，表示从 $ n $ 个元素中所有排列的总数；
• $ m! $ 是 $ m $ 的阶乘，表示 $ m $ 个元素内部的排列方式；
• $ (n-m)! $ 是剩余 $ n-m $ 个元素的阶乘。

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组合数的理解

1. 特点：
   组合数不考虑选取的顺序。例如，从 $ {A, B, C} $ 中选取 2 个元素：

   • $ AB $ 和 $ BA $ 被视为同一种选择；
   • 组合数的值只依赖于选取的元素集合，而与排列顺序无关。

2. 公式推导：

   • 如果考虑顺序，从 $ n $ 个元素中选取 $ m $ 个元素后，排列的方式总共有：

     \[P(m, n) = \frac{n!}{(n-m)!} \]

   • 因为组合不考虑顺序，需要除以 $ m! $（即选出的 $ m $ 个元素内部的排列方式）：

     \[C(m, n) = \frac{P(m, n)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]

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特殊情况

1. 当 $ m = 0 $ 时：

   \[C(0, n) = 1 \]

   表示从 $ n $ 个元素中选取 0 个元素，只有一种情况（什么都不选）。

2. 当 $ m = n $ 时：

   \[C(n, n) = 1 \]

   表示从 $ n $ 个元素中选取 $ n $ 个元素，只有一种情况（全部选中）。

3. 当 $ m > n $ 时：

   \[C(m, n) = 0 \]

   因为无法从 $ n $ 个元素中选出多于 $ n $ 个的组合。

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举例

例 1：从 5 个元素 $ {A, B, C, D, E} $ 中选 3 个元素

1. 按公式计算：

   \[C(3, 5) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10. \]

2. 组合结果为：

   \[\{ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE\}. \]

例 2：从 4 个元素 $ {A, B, C, D} $ 中选 2 个元素

1. 按公式计算：

   \[C(2, 4) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6. \]

2. 组合结果为：

   \[\{AB, AC, AD, BC, BD, CD\}. \]

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组合数的性质

1. 对称性

   \[C(m, n) = C(n-m, n) \]

2. 递推关系（杨辉三角）

   \[C(m, n) = C(m-1, n-1) + C(m, n-1) \]

3. 总和公式

   \[\sum_{m=0}^n C(m, n) = 2^n \]

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组合数与排列数的关系

排列数 $ P(m, n) $ 和组合数 $ C(m, n) $ 的关系为：

\[P(m, n) = C(m, n) \cdot m! \]

即排列数等于组合数乘以选出 $ m $ 个元素的排列方式数。