证明 $ \sum_{m=0}^n C(m, n) = 2^n $

我们来证明以下公式：

\[\sum_{m=0}^n C(m, n) = 2^n. \]

证明思路：

这个公式的含义是：从 $ n $ 个元素中选取 $ m $ 个元素的组合数的总和，随着 $ m $ 从 0 到 $ n $ 变化，等于 $ 2^n $。我们将用递推的方法来证明这个等式。

1. 组合数的加法性质：

首先，我们知道组合数 $ C(m, n) $ 表示从 $ n $ 个元素中选取 $ m $ 个元素的方式数。即：

\[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]

当我们对 $ m $ 从 \(0\) 到 $ n $ 求和时，实际上是在考虑从 $ n $ 个元素中选取不同数量的元素的所有可能情况。

2. 每个元素的选取状态：

对于每一个元素，它可以在组合中被选中或者不被选中。因此，每个元素有两种选择：选中或不选中。

• 如果一个元素被选中，它就会出现在组合中；
• 如果一个元素不被选中，它就不会出现在组合中。

对于 $ n $ 个元素，每个元素都有 \(2\) 种选择（选或不选）。因此，总的选择方式数是 \(2^n\)

因此：

\[\sum_{m=0}^n C(m, n) = 2^n. \]

这个等式反映了每个元素在所有组合中要么被选中，要么不被选中，所有这些选择的总数正好等于 $ 2^n $。