梯度下降法

梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

梯度下降方法基于以下的观察：如果实值函数

在点

处可微且有定义，那么函数

在

点沿着梯度相反的方向

下降最快。

因而，如果

对于

为一个够小数值时成立，那么

。

考虑到这一点，我们可以从函数F的局部极小值的初始估计

出发，并考虑如下序列

使得

因此可得到

　　

如果顺利的话序列

收敛到期望的极值。注意每次迭代步长可以改变。

右侧的图片示例了这一过程，这里假设F定义在平面上，并且函数图像是一个碗形。蓝色的曲线是等高线（水平集），即函数F为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数F值最小的点。