CF717G Underfail

合集 - 一些图论的笔记(15)

1.Hall's 定理和 Konig 定理2024-03-102.Gym-101915D 题解2024-03-103.POJ3057 Evacuation 题解2024-03-184.Gym 101981-I Magic Potion 题解2024-03-185.SGU171 Sarov zones 题解2024-03-186.CF1139E Maximize Mex2024-03-197.二分图带权最大匹配 - KM 算法2024-03-248.CF1198E Rectangle Painting2024-04-159.Menger 定理2024-04-2510.CF628F Bear and Fair Set2024-05-0111.CF981F Round Marriage2024-05-0112.CF1054F Electric Scheme2024-05-0213.最小割的结论2024-05-04

14.CF717G Underfail2024-06-12

15.LP-duality 定理2024-06-23

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传送门

传说之下欧耶

题意：给出一个长度 $n$ 的字符串 $s$。
有 $m$ 个单词 $p_1\sim p_m$，每一个有价值 $a_i$。
用这 $m$ 个单词和 $s$ 中的一些子串匹配，要求 $s$ 的每个字符匹配次数 $\le x$，每个子串最多匹配一次。
每匹配上一个单词，总收益加上对应的价值。问最大总价值。数据范围三位数级别。

一道很神奇的建模题。

建立 $n+2$ 个结点，$S=1,T=n+2$。然后 $\mathrm{\forall }i=1\sim n+1$，$i$ 向 $i+1$ 连边，容量 $x$ 费用 $0$。

对于一个能匹配上单词的子串 $s[l\sim r]$，令 $l$ 向 $r+1$ 连边，容量 $1$ 费用为这个单词的价值。

跑最大费用最大流。

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为什么是对的？我们可以把 $i\to i+1$ 的一串看做是一条主路，由匹配上的单词加入的边是岔路。

如果一个流流过了岔路，就表示匹配了一个对应单词。岔路容量是 $1$ 对应了一个子串只能匹配一次。

但每个字符匹配 $\le x$ 怎么保证？因为每个岔路出来的流量最终都会回到主路上（有 $n+2$ 的结点就是为了保证岔路到 $n+1$ 依然可以汇入主路），所以如果一个位置匹配了超过 $x$ 次，就一定会有超过 $x$ 条岔路汇入主路，不可能。

真的是很神奇的建模。

如果我们试图在匹配的时候让对应子串的位置的容量 $-1$，会发现做不了。感性理解，因为每个单词的地位是相同的，所以我们无法让算法判断为什么在子串结束处就要离开；网络流里每条边也是相互独立的，没有办法做到把两条边匹配。