合集-一些图论的笔记

Hall's 定理和 Konig 定理
摘要：Hall's 定理：二分图 (X,Y,E) 有大小为 |X| 的匹配 ⟺ 对于 ∀A⊆X，|N(A)|≥|A|。(N(A) 表示 A 的邻域) Konig 定理：二分图最小点覆盖 = 最大匹配。 阅读全文
posted @ 2024-03-10 16:15 FLY_lai 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑
Gym-101915D 题解
摘要：D 给定一张图，分为左右各 P 个点，左右各自内部是一个完全图，左右之间有 m 条边。求这个图的最大团。P≤20,m≤P2。 对于每个右部点，求出一个长度为 20 的二进制数，第 i 位是 1 表示它与左部第 i 点有连边。 枚举 阅读全文
posted @ 2024-03-10 16:23 FLY_lai 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑
POJ3057 Evacuation 题解
摘要：传送门 题意：给定一张字符地图，# 代表墙，. 代表空地，D 代表门。初始每个空地都有一个人。 每个人可以在一秒内向上下左右移动一格。一个空地可以站任意多人。一个人走到门视作逃生成功。但是门很窄，一个时刻内只能有一个人进门。 问所有人逃生的最短时间。n≤12。 注意到门一个时刻只能进一 阅读全文
posted @ 2024-03-18 18:33 FLY_lai 阅读(8) 评论(0) 推荐(0) 编辑
Gym 101981-I Magic Potion 题解
摘要：传送门 题意：有 n 个勇者和 m 个怪物，第 i 个勇者有一个可杀怪物集合 Mi，每个勇者只能杀各自 Mi 中的一个怪物。 但是你有 k 瓶魔药，每一瓶都可以让一个勇者多杀一个 Mi 中的怪物。但是每个勇者只能吃一瓶药。问最多能杀多少个 阅读全文
posted @ 2024-03-18 18:48 FLY_lai 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑
SGU171 Sarov zones 题解
摘要：题意：有 K 个城市，第 i 城市至多有 N[i] 个人，每个城市有一个属性 Q[i]。 对于 N=∑N[i] 个人，每个人有一个属性 P[i] 和价值 W[i]，把第 i 个人放进第 j 个城市中，当且仅当 \(P[i 阅读全文
posted @ 2024-03-18 21:12 FLY_lai 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑
CF1139E Maximize Mex
摘要：传送门 题意： 在一所学校里有 n 名学生和 m 个社团，社团被编号为 1~m 。第 i 个学生有一个能力值 pi ，且属于社团 ci（每个学生恰好属于一个社团）。 学校将要举行一个为期 d 天的活动，每天学校要举行一场程序设计比赛 阅读全文
posted @ 2024-03-19 20:37 FLY_lai 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑
二分图带权最大匹配 - KM 算法
摘要：KM 算法用来处理最大权完美匹配。 【定义】 记 G 的左部点为 xi，右部点为 yi。 顶标：我们给每个结点一个整数标号 li。 可行顶标：如果对于 ∀(xi,yi)，\(l_{x_i}+l_{y_i}-w_{x_i,y_i}\ge 阅读全文
posted @ 2024-03-24 10:10 FLY_lai 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑
CF1198E Rectangle Painting
摘要：传送门 题意：109×109 的白色平面上，给定 m≤50 个矩形将其涂黑。每次可以选 min(h,w) 的代价将一个 h×w 的矩形涂白，问涂成全白的最小代价。 可以看作每次涂一整条或一整列。如果不是 109 的范围，可 阅读全文
posted @ 2024-04-15 21:13 FLY_lai 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑
Menger 定理
摘要：要割掉最少的条边使 u,v 不连通，等于找最多有多少从 u→v 的边不相交路径 要删掉最少的个点使 u,v 不连通，等于找最多有多少从 u→v 的点不相交路径 阅读全文
posted @ 2024-04-25 19:18 FLY_lai 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑
CF628F Bear and Fair Set
摘要：传送门 网络流好题。 先将所有限制按 ui 排序，同时令 u0=0,t0=0 和 uq+1=b,tq+1=n。（下面就把 q←q+1 了） 这些限制会把 1∼b 分成 q 段。先检查一遍，如果出现 \(u_ 阅读全文
posted @ 2024-05-01 20:24 FLY_lai 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑
CF981F Round Marriage
摘要：传送门 首先最小化最大，一眼鉴定为二分。二分这个最大值 k，问题变成判断是否能让新郎新娘匹配，每一对距离 ≤k。 如果把新郎新娘视作二分图，每个点只和距离 ≤k 的点连边，问题就是求是否有完美匹配。 完美匹配判定，可以联想到 Hall's 定理。 先把环复制一遍， 阅读全文
posted @ 2024-05-01 23:09 FLY_lai 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑
CF1054F Electric Scheme
摘要：传送门 和 Bricks 很像。 初始把每个点看作一条线段，然后我们可以通过行相邻的或者列相邻的两个点合并。如果横向和竖向相交了且不是相交在给定的点，不能同时选。 最大独立集即可。 阅读全文
posted @ 2024-05-02 09:27 FLY_lai 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑
最小割的结论
摘要：记 f 为任意最大流，令 Gf 为 f 的残量网络。记 Gf 中 s 可达的点集合为 S，t 可达的点集合为 T。 判断一个图的最小割是否唯一。最小割唯一 ⟺ S∪T=V。 若 (u,uC) 阅读全文
posted @ 2024-05-04 19:17 FLY_lai 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑
CF717G Underfail
摘要：传送门 传说之下欧耶 题意：给出一个长度 n 的字符串 s。 有 m 个单词 p1∼pm，每一个有价值 ai。 用这 m 个单词和 s 中的一些子串匹配，要求 s 的每个字符匹配次数 ≤x，每个子串最多匹配一 阅读全文
posted @ 2024-06-12 19:01 FLY_lai 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑
LP-duality 定理
摘要：LP-duality 定理：线性规划问题的对偶定理。 【线性规划问题的标准形式】 给定矩阵 A,b,c，其中 b,c 都是只有一列的矩阵（可以当作列向量看）。 问题 1: 求向量（一组数）x→，要求 A⋅x→≤b→ 且 \ 阅读全文
posted @ 2024-06-23 22:03 FLY_lai 阅读(125) 评论(1) 推荐(0) 编辑

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