2024.9.1杂记

P1065 [NOIP2006 提高组] 作业调度方案

题目描述

我们现在要利用 $m$ 台机器加工 $n$ 个工件，每个工件都有 $m$ 道工序，每道工序都在不同的指定的机器上完成。每个工件的每道工序都有指定的加工时间。

每个工件的每个工序称为一个操作，我们用记号 j-k 表示一个操作，其中 $j$ 为 $1$ 到 $n$ 中的某个数字，为工件号；$k$ 为 $1$ 到 $m$ 中的某个数字，为工序号，例如 2-4 表示第 $2$ 个工件第 $4$ 道工序的这个操作。在本题中，我们还给定对于各操作的一个安排顺序。

例如，当 $n=3,m=2$ 时，1-1,1-2,2-1,3-1,3-2,2-2 就是一个给定的安排顺序，即先安排第 $1$ 个工件的第 $1$ 个工序，再安排第 $1$ 个工件的第 $2$ 个工序，然后再安排第 $2$ 个工件的第 $1$ 个工序，等等。

一方面，每个操作的安排都要满足以下的两个约束条件。

1. 对同一个工件，每道工序必须在它前面的工序完成后才能开始；

2. 同一时刻每一台机器至多只能加工一个工件。

另一方面，在安排后面的操作时，不能改动前面已安排的操作的工作状态。

由于同一工件都是按工序的顺序安排的，因此，只按原顺序给出工件号，仍可得到同样的安排顺序，于是，在输入数据中，我们将这个安排顺序简写为 1 1 2 3 3 2。

还要注意，“安排顺序”只要求按照给定的顺序安排每个操作。不一定是各机器上的实际操作顺序。在具体实施时，有可能排在后面的某个操作比前面的某个操作先完成。

例如，取 $n=3,m=2$，已知数据如下（机器号/加工时间）：

工件号	工序 1	工序 2
$1$	$1/3$	$2/2$
$2$	$1/2$	$2/5$
$3$	$2/2$	$1/4$

则对于安排顺序 1 1 2 3 3 2，下图中的两个实施方案都是正确的。但所需要的总时间分别是 $10$ 与 $12$。

方案 $1$，用时 $10$：

时间	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
机器 1 执行工序	1-1	1-1	1-1	2-1	2-1	3-2	3-2	3-2	3-2	无
机器 2 执行工序	3-1	3-1	无	1-2	1-2	2-2	2-2	2-2	2-2	2-2

方案 $2$，用时 $12$：

时间	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
机器 1 执行工序	1-1	1-1	1-1	2-1	2-1	无	无	3-2	3-2	3-2	3-2	无
机器 2 执行工序	无	无	无	1-2	1-2	3-1	3-1	2-2	2-2	2-2	2-2	2-2

当一个操作插入到某台机器的某个空档时（机器上最后的尚未安排操作的部分也可以看作一个空档），可以靠前插入，也可以靠后或居中插入。为了使问题简单一些，我们约定：在保证约束条件 $(1.)(2.)$ 的条件下，尽量靠前插入。并且，我们还约定，如果有多个空档可以插入，就在保证约束条件 $(1.)(2.)$ 的条件下，插入到最前面的一个空档。于是，在这些约定下，上例中的方案一是正确的，而方案二是不正确的。

显然，在这些约定下，对于给定的安排顺序，符合该安排顺序的实施方案是唯一的，请你计算出该方案完成全部任务所需的总时间。

输入格式

第 $1$ 行为两个正整数 $m$, $n$，用一个空格隔开，
其中 $m(<20)$ 表示机器数，$n(<20)$ 表示工件数。

第 $2$ 行：$m\times n$ 个用空格隔开的数，为给定的安排顺序。

接下来的 $2n$ 行，每行都是用空格隔开的 $m$ 个正整数，每个数不超过 $20$。

其中前 $n$ 行依次表示每个工件的每个工序所使用的机器号，第 $1$ 个数为第 $1$ 个工序的机器号，第 $2$ 个数为第 $2$ 个工序机器号，等等。

后 $n$ 行依次表示每个工件的每个工序的加工时间。

可以保证，以上各数据都是正确的，不必检验。

输出格式

$1$ 个正整数，为最少的加工时间。

样例 #1

输入样例 #1

2 3
1 1 2 3 3 2
1 2 
1 2 
2 1
3 2 
2 5 
2 4

输出样例 #1

10

提示

NOIP 2006 提高组 第三题

解题思路

模拟，主要的思路就是对于每个机器 $i$，在时间 $j$ 进行插入工序，同时要保证连续 $cost$ 的时间进行加工。$step$ 数组记录当前进行到哪一步工序，而 $last$ 表示当前零件上一个工序的加工结束时间。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <sstream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 30, M = 30;

int n, m, ans;
int order[N * M];
int g[N][N], t[N][N];
int last[N]; // 每个零件上一次加工时间
int step[N]; // 每个零件加工到的工序
int machine[N][N * N * N]; // 机器 i 在第 j 时间是否空闲

int main() {
	scanf("%d%d", &m, &n); // 机器数、零件数
	for (int i = 1; i <= n * m; i++) // 顺序
		scanf("%d", &order[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			scanf("%d", &g[i][j]); // 零件 i 的第 j 工序所用机器
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			scanf("%d", &t[i][j]); // 零件 i 的第 j 工序耗时
	for (int i = 1; i <= n * m; i++) {
		int now = order[i];
		step[now]++;
		int id = g[now][step[now]], cost = t[now][step[now]];
		int s = 0;
		for  (int j = last[now] + 1; ; j++) {
			if (machine[id][j] == 0) {
				s++;
			} else {
				s = 0;
			}
			if (s == cost) {
				for (int k = j - cost + 1; k <= j; k++) {
					machine[id][k] = 1;
				}
				if (j > ans)
					ans = j;
				last[now] = j;
				break;
			}
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

P1067 [NOIP2009 普及组] 多项式输出

题目描述

一元 $n$ 次多项式可用如下的表达式表示：

$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0$$

其中，$a_i{x}^i$ 称为 $i$ 次项，$a_i$ 称为 $i$ 次项的系数。给出一个一元多项式各项的次数和系数，请按照如下规定的格式要求输出该多项式：

1. 多项式中自变量为 $x$，从左到右按照次数递减顺序给出多项式。

2. 多项式中只包含系数不为 $0$ 的项。

3. 如果多项式 $n$ 次项系数为正，则多项式开头不出 + 号，如果多项式 $n$ 次项系数为负，则多项式以 - 号开头。

4. 对于不是最高次的项，以 + 号或者 - 号连接此项与前一项，分别表示此项系数为正或者系数为负。紧跟一个正整数，表示此项系数的绝对值（如果一个高于 $0$ 次的项，其系数的绝对值为 $1$，则无需输出 $1$）。如果 $x$ 的指数大于 $1$，则接下来紧跟的指数部分的形式为“$x^b$”，其中 $b$ 为 $x$ 的指数；如果 $x$ 的指数为 $1$，则接下来紧跟的指数部分形式为 $x$；如果 $x$ 的指数为 $0$，则仅需输出系数即可。

5. 多项式中，多项式的开头、结尾不含多余的空格。

输入格式

输入共有 $2$ 行

第一行 $1$ 个整数，$n$，表示一元多项式的次数。

第二行有 $n+1$ 个整数，其中第 $i$ 个整数表示第 $n-i+1$ 次项的系数，每两个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出共 $1$ 行，按题目所述格式输出多项式。

样例 #1

输入样例 #1

5 
100 -1 1 -3 0 10

输出样例 #1

100x^5-x^4+x^3-3x^2+10

样例 #2

输入样例 #2

3 
-50 0 0 1

输出样例 #2

-50x^3+1

提示

NOIP 2009 普及组 第一题

对于 $100\mathrm{\%}$ 数据，$0\le n\le 100$，$-100\le$ 系数 $\le 100$

---

$\text{upd 2022.8.1}$：新增加一组 $Hack$ 数据。

解题思路

按照指数递减的顺序依次求出每个项的字符串，最后进行拼接。如果系数是负数，则直接拼接；如果系数为正数，则看当前答案的长度是否为零，大于零则说明前面存在项，则需要拼接 +。在求解每一项时需要注意系数为 1 和 -1 的情况、指数为 1 和 0 的情况。

注意：如果最后答案字符串长度为零，则说明所有系数为零，则需要拼接一个 0 作为最后的答案。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <sstream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110, M = 30;

int n;
int a[N];
string item[N];

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		if (a[i] == 0) {
			item[i] = "";
		} else {
			if (n - i == 0) {
				item[i] = "" + to_string(a[i]);
			} else if (n - i == 1) {
				if (abs(a[i]) != 1) {
					item[i] = "" + to_string(a[i]) + "x";
				} else {
					if (a[i] == -1) {
						item[i] = "-x";
					} else {
						item[i] = "x";
					}
				}
			} else {
				if (abs(a[i]) != 1) {
					item[i] = "" + to_string(a[i]) + "x^" + to_string(n - i);
				} else {
					if (a[i] == -1) {
						item[i] = "-x^" + to_string(n - i);
					} else {
						item[i] = "x^" + to_string(n - i);
					}
				}
			}
		}
	}
	string res = "";
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		if (res.size() == 0) {
			res = res + item[i];
		} else {
			if (item[i].size() > 0 && item[i][0] != '-') {
				res = res + "+" + item[i];
			} else {
				res = res + item[i];
			}
		}
	}
	if (res.size() == 0)
		res = "0";
	cout << res << endl;
	return 0;
}