2024AcWing蓝桥杯集训·每日一题-差分

1.[AcWing4262.空调]

题目描述

Farmer John 的 $N$ 头奶牛对他们牛棚的室温非常挑剔。
有些奶牛喜欢温度低一些，而有些奶牛则喜欢温度高一些。
Farmer John 的牛棚包含一排 $N$ 个牛栏，编号为 $1\dots N$，每个牛栏里有一头牛。
第 $i$ 头奶牛希望她的牛栏中的温度是 $p_i$，而现在她的牛栏中的温度是 $t_i$。
为了确保每头奶牛都感到舒适，Farmer John 安装了一个新的空调系统。
该系统进行控制的方式非常有趣，他可以向系统发送命令，告诉它将一组连续的牛栏内的温度升高或降低 $1$ 个单位——例如「将牛栏 $5\dots 8$ 的温度升高 $1$ 个单位」。
一组连续的牛栏最短可以仅包含一个牛栏。
请帮助 Farmer John 求出他需要向新的空调系统发送的命令的最小数量，使得每头奶牛的牛栏都处于其中的奶牛的理想温度。

输入格式

输入的第一行包含 $N$。
下一行包含 $N$ 个非负整数 $p_1\dots p_N$，用空格分隔。
最后一行包含 $N$ 个非负整数 $t_1\dots t_N$。

输出格式

输出一个整数，为 Farmer John 需要使用的最小指令数量。

数据范围

$1\le N\le {10}^5,$
$0\le p_i,t_i\le 10000$

输入样例

5
1 5 3 3 4
1 2 2 2 1

输出样例

5

样例解释

一组最优的 Farmer John 可以使用的指令如下：

初始温度     ：1 2 2 2 1
升高牛棚 2..5：1 3 3 3 2
升高牛棚 2..5：1 4 4 4 3
升高牛棚 2..5：1 5 5 5 4
降低牛棚 3..4：1 5 4 4 4
降低牛棚 3..4：1 5 3 3 4

解题思路

以样例为例，希望将下面的数组变为上面的数组

1 5 3 3 4
1 2 2 2 1

那么对应的差值数组为，进行若干次操作使得下面数组增加差值数组中对应的值，那原问题等价于将二者的差值均变为 $0$，则其差分数组元素也为 $0$

0 3 1 1 3

即将差分数组元素均变为 $0$，那么操作次数必然大于等于 $max$(负数之和绝对值，正数之和)，显然可以取等。

0 3 -2 0 2

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n;
int p[N], t[N], a[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &p[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &t[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = p[i] - t[i];
    for (int i = n; i >= 1; i--) a[i] -= a[i - 1];
    int pos = 0, neg = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i] > 0) pos += a[i];
        else neg -= a[i];
    }
    printf("%d\n", max(pos, neg));
    return 0;
}

2.[AcWing4655.重新排序]

题目描述

给定一个数组 $A$ 和一些查询 $L_i,R_i$，求数组中第 $L_i$ 至第 $R_i$ 个元素之和。
小蓝觉得这个问题很无聊，于是他想重新排列一下数组，使得最终每个查询结果的和尽可能地大。
小蓝想知道相比原数组，所有查询结果的总和最多可以增加多少?

输入格式

输入第一行包含一个整数 $n$。
第二行包含 $n$ 个整数 $A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_n$，相邻两个整数之间用一个空格分隔。
第三行包含一个整数 $m$ 表示查询的数目。
接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $L_i、R_i$，相邻两个整数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

数据范围

对于 $30\mathrm{\%}$ 的评测用例，$n,m\le 50$；
对于 $50\mathrm{\%}$ 的评测用例，$n,m\le 500$；
对于 $70\mathrm{\%}$ 的评测用例，$n,m\le 5000$；
对于所有评测用例，$1\le n,m\le {10}^5$，$1\le A_i\le {10}^6$，$1\le L_i\le R_i\le n$。

输入样例

5
1 2 3 4 5
2
1 3
2 5

输出样例

4

样例解释

原来的和为 $6+14=20$，重新排列为 $(1,4,5,2,3)$ 后和为 $10+14=24$，增加了 $4$。

解题思路

每次询问相当于将该区间的数统计一次，因此每次询问我们可以用差分和前缀和进行每个数被询问次数的处理，然后原数组和该统计次数数组的乘积和为原询问结果总和。那么如何最大？这里可以根据排序不等式将两个数组正序排序，然后计算乘积和即为最大询问，二者的差值即为答案。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef long long LL;

int n, m;
int a[N], c[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        scanf("%d", &a[i]);
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        c[l]++, c[r + 1]--;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res -= (LL) a[i] * c[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);
    sort(c + 1, c + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += (LL) a[i] * c[i];
    cout << res << endl;
    return 0;
}