2023.2.21AcWing蓝桥杯集训·每日一题

知识点为二分。

AcWing113.特殊排序

题目描述

有 $N$ 个元素，编号 $1,2..N$，每一对元素之间的大小关系是确定的，关系具有反对称性，但不具有传递性。

注意：不存在两个元素大小相等的情况。

也就是说，元素的大小关系是 $N$ 个点与 $\frac{N\times (N-1)}{2}$ 条有向边构成的任意有向图。

然而，这是一道交互式试题，这些关系不能一次性得知，你必须通过不超过 $10000$ 次提问来获取信息，每次提问只能了解某两个元素之间的关系。

现在请你把这 $N$ 个元素排成一行，使得每个元素都小于右边与它相邻的元素。

你可以通过我们预设的 $bool$ 函数 $compare$ 来获得两个元素之间的大小关系。

例如，编号为 $a$ 和 $b$ 的两个元素，如果元素 $a$ 小于元素 $b$，则 $compare(a,b)$ 返回 $true$，否则返回 $false$。

将 $N$ 个元素排好序后，把他们的编号以数组的形式输出，如果答案不唯一，则输出任意一个均可。

数据范围

$1\le N\le 1000$

输入样例

[[0, 1, 0], [0, 0, 0], [1, 1, 0]]

输出样例

[3, 1, 2]

解题思路

本题目除了二分，还可以借用归并排序的思路来求解

题目要求使用不超过 $10000$ 次询问来获取信息，结合数据范围我们要确定 $N$ 个元素可能的大小关系序列，需要将询问次数控制到 $NlogN$ 以内。在具体的排序过程，使用插入排序。

假设现在已经确定了前 $i$ 个数的顺序(左边元素小于右边相邻的元素)。现在我们有一个数 $x$，利用二分进行询问操作，如果 $x$ 比中间的 $\frac{i+1}{2}$ 位置上的数小，那么 $\frac{i+1}{2}$ 的数到 $x$ 为下降折线，反之为上升折线。如图所示。那么二分的时候，如果该位置的值大于 $x$，那么二分所找的一定在该位置的左边，而 $x$ 应插入到折线上的极大值点处(并不代表 $x$ 是极大值，不要弄混了)。这样就可以使用二分，确定一个小于 $x$ 的位置，$x$ 插入到该位置的右边。

C++代码

// Forward declaration of compare API.
// bool compare(int a, int b);
// return bool means whether a is less than b.

class Solution {
public:
    vector<int> specialSort(int N) {

        vector<int> res;
        res.push_back(1);
        
        for (int i = 2; i <= N; i ++)
        {
            int l = 0, r = res.size() - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                // res[mid] < i
                if (compare(res[mid], i)) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            // 先放到最后
            res.push_back(i);
            // res[l]是最后小于i的数
            // i插到res[l]的后面
            for (int j = res.size() - 2; j > l; j --) swap(res[j], res[j + 1]);
            // 边界条件，res[l]都大于i，那么i应和res[l]交换
            if (compare(i, res[l])) swap(res[l], res[l + 1]);
        }
        return res;
    }
};