数学知识2.2-拓展欧几里得算法

一、简述

记录有关拓展欧几里得算法。

二、拓展欧几里得算法

裴蜀定理：若 $a,b$ 是整数，且 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 $gcd(a,b)=d$，那么任意的整数 $x,y$，$ax+by$ 一定是 $d$ 的整数倍。特别地，一定存在整数 $x,y$ 使得 $ax+by=d$。

对于任意的 $a,b\in Z$，$gcd(a,b)=d$，则关于 $x,y$ 的线性丢番图方程(裴蜀等式)：$ax+by=m$，有整数解 $(x,y)$ 当且仅当 $m$ 是 $d$ 的倍数。裴蜀等式有解时必然存在无穷多解(例如：$ax+by=m$，则 $(x-k\frac{b}{m},y+k\frac{a}{m})$，$k$ 为整数)。

裴蜀定理的一个重要推论：$a$ 和 $b$ 互质的充要条件是存在整数 $(x,y)$ 使得 $ax+by=1$。

拓展欧几里得算法：对正整数 $a,b$，有整数解 $(x,y)$，使其满足 $ax+by=gcd(a,b)$。
求解思路如下：
① 若 $b=0$，则 $gcd(a,b)=a$，则可取 $x=1,y=0$ 使得 $ax+by=gcd(a,b)=a$。
② 若 $b\ne 0$，则 $ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)=d$。而 $b{x}^{\prime }+(a\mathrm{\%}b)y^{\prime }=gcd(b,a\mathrm{\%}b)=d$，而 $a\mathrm{\%}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ·b$，那么就可以得到 $b{x}^{\prime }+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ·b)y^{\prime }=d=ax+by$，展开得到 $a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ·y^{\prime })=ax+by$，等价得到 $a{x}^{\prime }+b(y^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ·x^{\prime })=ax+by$，$x=x^{\prime },y=y^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ·x^{\prime }$。

模板题AcWing 877. 扩展欧几里得算法

题目描述

给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i\times x_i+b_i\times y_i=gcd(a_i,b_i)$。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。

数据范围

$1\le n\le {10}^5,1\le a_i,b_i\le 2\times {10}^9$

输入样例

2
4 6
8 18

输出样例

-1 1
-2 1

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    while(n --)
    {
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    return 0;
}

三、线性同余方程

$ax\equiv b(modm)$ 的方程。此方程有解当且仅当 $b$ 能够被 $a$ 与 $m$ 的最大公约数整除，记作 $gcd(a,m)|b$。这时，如果 $x_0$ 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为：
{$x_0+k\frac{n}{d}|(k\in z)$}，其中 $d$ 是 $a$ 与 $m$ 的最大公约数。在模 $m$ 的完全剩余系 {$0,1,\dots ,n-1$} 中，恰有 $d$ 个解。
由 $ax\equiv b(modm)$，则存在整数 $y$ 使得 $ax=my+b$，即 $ax-my=b$，那么由裴蜀定理可知 $b$ 为 $gcd(a,m)$ 的倍数时才有整数解。

模板题AcWing 878. 线性同余方程

题目描述

给定 $n$ 组数据 $a_i,b_i,m_i$，对于每组数求出一个 $x_i$，使其满足 $a_i\times x_i\equiv b_i(mod{m}_i)$，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一组数据 $a_i,b_i,m_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x_i$，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 $int$ 范围之内。

数据范围

$1\le n\le {10}^5,1\le a_i,b_i,m_i\le 2\times {10}^9$。

输入样例

2
2 3 6
4 3 5

输出样例

impossible
-3

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    while(n --)
    {
        int a, b, m, x, y;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if(b % d) puts("impossible");
        else printf("%d\n", (LL)b / d * x % m);
    }
    return 0;
}