2022.12.30AcWing寒假每日一题2023

发烧了几天，现在脑子清醒点了，做道题。此题目出自第十三届蓝桥杯C/C++的A/C/研究生组。

AcWing 4645. 选数异或

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数列 $A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_n$ 和一个非负整数 $x$，给定 $m$ 次查询，每次询问能否从某个区间 $[l,r]$ 中选择两个数使得他们的异或等于 $x$。

输入格式

输入的第一行包含三个整数 $n,m,x$。

第二行包含 $n$ 个整数 $A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_n$。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $l_i,r_i$ 表示询问区间 $[l_i,r_i]$。

输出格式

对于每个询问，如果该区间内存在两个数的异或为 $x$ 则输出 $yes$，否则输出 $no$。

数据范围

对于 $20\mathrm{\%}$ 的评测用例，$1\le n,m\le 100$；
对于 $40\mathrm{\%}$ 的评测用例，$1\le n,m\le 1000$；
对于所有评测用例，$1\le n,m\le 100000,0\le x<220$，$1\le l_i\le r_i\le n$，$0\le A_i<220$。

输入样例

4 4 1
1 2 3 4
1 4
1 2
2 3
3 3

输出样例

yes
no
yes
no

样例解释

显然整个数列中只有 $2,3$ 的异或为 $1$。

思路

如果 $a\oplus b=x$，则 $b\oplus x=a$。
状态表示：哈希表 $last$ 存储 $a_i$ 的位置，$f[i]$ 表示 $1-i$ 中与 $a_i$ 构成异或数对的最大下界，即 $a_j,1\le j\le i-1,a_j\oplus a_i=x$，最大下界即最大的 $j$。
状态计算：每次输入 $a_i$，找到 $a_i\oplus x$ 的位置，$f[i]=max(f[i-1],last[a_i\oplus x])$。
在区间判断时，如果 $f[r]\ge l$，也就是存在最大下界在区间内，至少存在一个数对。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n, m, x;
map<int, int> last;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> x;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int a;
        cin >> a;
        last[a] = i;
        f[i] = max(f[i - 1], last[a ^ x]);
    }
    while (m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        if (f[r] >= l) puts("yes");
        else puts("no");
    }
    return 0;
}