2022.10.27每日一题

Daimayuan Online Judge-跳跳

题目描述

平面上给定了一些整点（横纵坐标均为整数的点），被称为 “魔法阵”。魔法少女派派想要在各魔法阵之间传送，每一次传送，她将使用下面的方式：
刚开始，派派已经位于某传送阵之上；
如果派派掌握一种魔法 $(A,B)$，其中 $A,B$ 均为整数。使用一次这个魔法可以让派派从任意整点 $(X,Y)$ 瞬间移动至 $(X+A,Y+B)$；
选择一种魔法并开始传送，在一次传送过程中可以使用多次该魔法，但在抵达下一个传送阵之前仅能使用这一种魔法。
问派派至少需要掌握多少种魔法，才能在从任意魔法阵直接传送到任意魔法阵？

输入格式

第一行一个整数 $N$。
接下来一行 $N$ 行，每行包含两个整数 $X_i,Y_i$， 表示每个魔法阵的坐标。

输出格式

一个数，表示答案。

样例输入1

3
1 1
4 5
1 4

样例输出1

6

解释： 任务是从 $(1,1)$ 传送至 $(4,5)$ 以及 $(1,4)$、从 $(4,5)$ 传送至 $(1,1)$ 以及 $(1,4)$、从 $(1,4)$ 传送至 $(1,1)$ 以及 $(4,5)$。
注意你不能使用 $(0,3)+(3,1)$ 的魔法从 $(1,1)$ 到达 $(4,5)$。因为每次移动，你只能使用一种魔法。
当然，你可以学习 $(0,1)$，那样的话，从 $(1,1)$ 到达 $(1,4)$ 则需要使用 $3$ 次 $(0,1)$ 魔法了。

样例输入2

3
1 1
2 2
1000000000 1000000000

样例输出2

2

数据范围

$N\in [10,500]$
$X_i,Y_i\in [0,{10}^9]$, 但保证坐标之间两两不同。

解题思路

因为数据范围允许，所有我们以 $O(n^2)$ 的时间求出所有两点之间的单位向量即可。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second

int n;
PII q[N];

int gcd(int a, int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d%d", &q[i].x, &q[i].y);
    set<PII> cnt;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j ++)
        {
            int a = q[i].x - q[j].x, b = q[i].y - q[j].y;
            int d = gcd(a, b);
            cnt.insert({a / d, b / d});
            cnt.insert({-a / d, -b / d});
        }
    printf("%d\n", cnt.size());
    return 0;
}