数学知识2.1-欧拉函数与快速幂

一、简述

本文章主要介绍欧拉函数以及快速幂的相关算法。

二、欧拉函数

定义

$1\sim N$ 中与 $N$ 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 $\varphi (N)$。若在算数基本定理中，$N=p_1^{a1}{p}_2^{a2}\dots p_m^{am}$，则：$\varphi (N)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$。

计算式的证明

情况1

当 $n=0$ 时，显然，因为 $n=0$ 时，欧拉函数的计算范围内只有 $0$，但是 $\varphi (0)=0$。
当 $n=1$ 时，因为 $1$ 与自身互素，$\varphi (1)=1$。

情况2

当 $n$ 为素数时，因为 $1\sim n$ 都不被 $n$ 整除，所以这些数都与 $n$ 互素，$\varphi (n)=n-1$。

情况3

对 $n$ 进行质因数分解 $n=p_1^{a1}{p}_2^{a2}\dots p_m^{am}$。
将 $1\sim n$ 中所有 $p_1,p_2...p_m$ 的倍数去掉，剩余 $n-(n\sum _{i=1}^m\frac{1}{p_i})$ 个数，由于该过程 $1\sim n$ 中既是 $p_i$ 又是 $p_j(i\ne j)$ 倍数的数被重复去除，所以我们需要将这些数加回来，即 $n-(n\sum _{i=1}^m\frac{1}{p_i})+(n\sum _{j,k=1,j\ne k}^m\frac{1}{p_j{p}_k})$，以此类推，我们会发现这是多集合容斥计算式，总结为 $\varphi (N)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$。

模板题AcWing873.欧拉函数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，每行输出一个正整数 $a_i$ 的欧拉函数。

数据范围

$1\le n\le 100,$
$1\le a_i\le 2\times {10}^9$

输入样例

3
3
6
8

输出样例

2
2
4

解题思路

根据欧拉函数的计算式计算即可，时间复杂度$O(n\sqrt{a})$。

C++代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int a;
        cin >> a;
        int res = a;
        for(int i = 2; i <= a / i; i ++)
        {
            if(a % i == 0)
            {
                res = res / i * (i - 1);
                while(a % i == 0)
                    a /= i;
            }
        }
        if(a > 1) res = res / a * (a - 1);//先除后乘可以避免数值溢出
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

三、筛法求欧拉函数

思路

借用线性筛进行欧拉函数的计算

模板题AcWing874.筛法求欧拉函数

题目描述

给定一个正整数 $n$，求 $1\sim n$ 中每个数的欧拉函数之和。

输入格式

共一行，包含一个整数 $n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 $1\sim n$ 中每个数的欧拉函数之和。

数据范围

$1\le n\le {10}^6$

输入样例

6

输出样例

12

解题思路

由于数据范围为 ${10}^6$，显然我们不能根据定义去依次计算再求解。我们考虑使用线性筛法的方式区计算，具体思路借助代码解释。
关于代码中 $flag1$：根据欧拉函数计算式可知 $i=p_1^{a1}{p}_2^{a2}\dots p_m^{am}$，$\varphi (i)=i\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$；而 $t=primes[j]\times i$，而 $primes[j]$ 整除 $i$，故 $t=p_1^{a1}{p}_2^{a2}\dots p_m^{am}$，除了 $t$ 的 $primes[j]$ 的指数比 $i$ 多一，则 $\varphi (t)=t\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}=primes[j]\times i\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}=primes[j]\times \varphi (i)$。
关于代码中 $flag2$：$i$ 与 $primes[j]$ 互质。则 $t$ 的质因数分解会比 $i$ 多一个质因数。$\varphi (i)=i\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$；$\varphi (t)=t\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}\times \frac{primes[j]-1}{primes[j]}=primes[j]\times i\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}\times \frac{primes[j]-1}{primes[j]}=\varphi (i)\times (primes[j]-1)$。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;

int n;
int primes[N], cnt;
int euler[N];
bool st[N];

void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;//1对应的欧拉函数为1
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])//i为质数
        {
            primes[cnt ++] = i;//筛出质数
            euler[i] = i - 1;//质数对应的欧拉函数值为本身减1
        }
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if(i % primes[j] == 0)//primes[j]为i的一个质因数，同时也是t的质因数
            {
		//flag1
		euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
	    //flag2
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    get_eulers(n);
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += euler[i];
    cout << res << endl;
    return 0;
}

四、快速幂

正常计算一个数 $a$ 的 $k$ 次方，则时间复杂度为 $O(k)$。而我们换种思路，计算 $a$ 的 $k$ 次方，我们可以使用 $a$ 的 $\frac{k}{2}$ 自乘计算。那我们就有一种思路 $k$ 是偶数 $a^k=a^{\frac{k}{2}}\times a^{\frac{k}{2}}$，$k$ 是奇数 $a^k=a^{k-1}\times a$，特别的 $k=0$，$a^k=1$。这是一种递归的快速幂。那么我们考虑一下将 $k$ 拆解为二进制形式，从低位向高位进行计算，每次移位 $a$ 都要自乘，且如果当前为 $1$，就要与当前的 $a$ 相乘。

模板题AcWing875.快速幂

题目描述

给定 $n$ 组 $a_i,b_i,p_i$，对于每组数据，求出 $a_i^{b_i}mod{p}_i$ 的值。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,p_i$。

输出格式

对于每组数据，输出一个结果，表示 $a_i^{b_i}mod{p}_i$ 的值。
每个结果占一行。

数据范围

$1\le n\le 100000,$
$1\le a_i,b_i,p_i\le 2\times {10}^9$

输入样例

2
3 2 5
4 3 9

输出样例

4
1

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL) a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int a, b, p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << qmi(a, b, p) << endl;
    }
    return 0;
}

四、乘法逆元

若整数 $b,m$ 互质，并且对于任意的整数 $a$，如果满足 $b|a$，则存在一个整数 $x$，使得$\frac{a}{b}\equiv a\times x(modm)$，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为$b^{-1}(modm)$。
$b$ 存在乘法逆元的充要条件是 $b$ 与模数 $m$ 互质。当模数 $m$ 为质数时，$b^{m-2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元(该求法由下面的欧拉定理给出)。

欧拉定理

若 $a$ 与 $n$ 互质，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$。特别地，$n$ 为质数时 $\varphi (n)=n-1$，故 $a^{n-1}\equiv 1(modn)$。
证明：已知 $a$ 与 $n$ 互质。在 $1n$ 中，有 $\varphi (n)$ 个数与 $n$ 互质，记作 $b_1,b_2,...,b_{\varphi (n)}$。同样的，$a·b_1,a·b_2,...,a·b_{\varphi (n)}$ 与 $n$ 互质。那么可以得到 $b_1·b_2·...·b_{\varphi (n)}\equiv a^{\varphi (n)}·(b_1·b_2·...·b_{\varphi (n)})(modn)$，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$。

模板题AcWing876.快速幂求逆元

题目描述

给定 $n$ 组 $a_i,p_i$，其中 $p_i$ 是质数，求 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。
注意：请返回在 $0\sim p-1$ 之间的逆元。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个数组 $a_i,p_i$，数据保证 $p_i$ 是质数。

输出格式

输出共 $n$ 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

$1\le n\le {10}^5,$
$1\le a_i,p_i\le 2\times {10}^9$

输入样例

3
4 3
8 5
6 3

输出样例

1
2
impossible

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = res * a % p;
        a = (LL) a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int a, p;
        cin >> a >> p;
        if(a % p == 0) puts("impossible");
        else printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
    }
    return 0;
}