数学知识1.2-约数

一、简述

本文章主要介绍有关约数的基础算法。

二、约数

约数，又称因数。整数 $a$ 除以整数 $b$($b$ ≠ 0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 $a$ 能被 $b$ 整除，或 $b$ 能整除 $a$。$a$ 称为 $b$ 的倍数，$b$ 称为 $a$ 的约数。

三、试除法求约数

设一个数 $n$，则我们只需从1遍历到 $n$，把所有的整除 $n$ 的数就是 $n$ 的约数。
参考试除法判断质数，如果对于一个数 $n$，若存在 $d$ | $n$($d$ 整除 $n$)，则 $\frac{d}{n}$ | $n$，基于此，我们可以对上面的算法进行优化，使得时间复杂度降到 O($\sqrt{n}$)。

模板题AcWing869.试除法求约数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a{}_i^{}$，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a{}_i^{}$。

输出格式

共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个整数 $a{}_i^{}$ 的所有约数。

数据范围

1≤ $n$ ≤100，2≤ $a{}_i^{}$ ≤2¹⁰。

输入样例

2
6
8

输出样例

1 2 3 6
1 2 4 8

解题思路

试除法，并且对于平方数此类的数，我们要对它的约数进行去重，这里我们可以采用 set，同时 set 也可以实现自动排序，无需我们再对存放约数的数组进行排序。

C++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;

set<int> get_divisors(int x)
{
    set<int> res;
    for(int i = 1; i <= x / i; i ++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            res.insert(i);
            res.insert(x / i);
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        set<int> t = get_divisors(x);
        for(auto v : t)
            cout << v << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

四、约数个数

• 算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积。
  N = $P{}_1^{a^1}$$P{}_2^{a^2}$$P{}_3^{a^3}$⋅⋅⋅$P{}_n^{a^n}$，这里 $P{}_1^{}$ < $P{}_2^{}$ < ⋅⋅⋅ < $P{}_n^{}$ 且均为质数，其指数均是正整数。
• 约数个数 = ($a{}_1^{}$ + 1) * ($a{}_2^{}$ + 1) * ... * ($a{}_n^{}$ + 1)。

模板题AcWing870. 约数个数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a{}_i^{}$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a{}_i^{}$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10⁹+7 取模。

数据范围

1≤ $n$ ≤100，2≤ $a{}_i^{}$ ≤2×10⁹。

输入样例

3
2
6
8

输出样例

12

解题思路

试除法，因为我们要利用对应质因数的指数，我们使用哈希表存储。

C++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 110, MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

int n;
unordered_map<int, int> primes;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int j = 2; j <= x / j; j ++)
        {
            while(x % j == 0)
            {
                x /= j;
                primes[j] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;
    }
    LL res = 1;
    for(auto [k, v] : primes)
    {
        res = (res * (v + 1)) % MOD;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

五、约数之和

约数之和的依据也是算术基本定理。
约数之和 = ($P{}_1^0$ + $P{}_1^2$ + ... + $P{}_1^{a^1}$) * ($P{}_2^0$ + $P{}_2^2$ + ... + $P{}_2^{a^1}$) * ... * ($P{}_n^0$ + $P{}_n^2$ + ... + $P{}_n^{a^1}$)。

模板题AcWing871.约数之和

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a{}_i^{}$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式

共一行，包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a{}_i^{}$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 10⁹+7 取模。

数据范围

1≤ $n$ ≤10⁶。

输入样例

3
2
6
8

输出样例

252

解题思路

参考前面试除法计算约数个数，我们利用哈希表存储质因数及其指数之后，对质因数 $P{}_i^{}$ 及其指数 $a{}_i^{}$ 计算 $P{}_i^0$ + $P{}_i^2$ + ... + $P{}_i^{a^i}$，将所有的结果累乘即可。

C++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 110, MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

int n;
unordered_map<int, int> primes;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int j = 2; j <= x / j; j ++)
        {
            while(x % j == 0)
            {
                x /= j;
                primes[j] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;
    }
    LL res = 1;
    for(auto [k, v] : primes)
    {
        LL t = 1;
        int p = k, a = v;
        while(a --)
        {
            t = (t * p + 1) % MOD;
        }
        res = (res * t) % MOD;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

六、最大公约数

计算两个数的最大公约数我们常使用的算法是辗转相除法(欧几里得算法)。
核心思想：如果 $d$ | $a$，$d$ | $b$，则 $d$ | $x\ast a+y\ast b$，这里 $x$ 和 $y$ 都是整数。
欧几里得算法的表示：($a$，$b$) = ($b$，$a$ $mod$ $b$)，$mod$ 是求余操作，等号表示左右的最大公约数相等。
证明：首先 $a$ $mod$ $b$ = $a$ - $\frac{a}{b}\ast b$ = $a$ - $c\ast b$，这里 $\frac{a}{b}$ 是整除，设最大公约数是 $d$。

• 左->右：$d$ | $a$，$d$ | $b$，则 $d$ | $b$，$d$ | $a-c\ast b$，等号成立。
• 右->左：$d$ | $b$，$d$ | $a-c\ast b$，则$d$ | $a-c\ast b+c\ast b$ 也就是 $d$ | $a$且$d$ | $b$，等号成立。
  证毕。

模板题AcWing872.最大公约数

题目描述

给定 $n$ 对正整数 $a{}_i^{}$，$b{}_i^{}$，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

共一行，包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行一对正整数 $a{}_i^{}$，$b{}_i^{}$。

输出格式

输出共 $n$ 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1≤ $n$ ≤ 10⁵，
1≤ $a{}_i^{}$，$b{}_i^{}$ ≤ 2×10⁹。

输入样例

2
3 6
4 6

输出样例

3
2

解题思路

辗转相除法。

C++代码

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    if(a % b == 0) return b;
    return gcd(b, a % b);
}

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        printf("%d\n", gcd(a, b));
    }
    return 0;
}