握手定理：在无向图中，度数为奇数的顶点必然有偶数个。
证明：设n1为偶数度顶点的个数，n2为奇数度顶点的个数，无向图中每条边有两个度，设边数为m，则2m=n1+n2,2m一定为偶数，n1也是偶数（读数为偶 数的各个顶点的度数和必为偶数），故n2必定为偶数个，即得证。
欧拉图判定定理：（格尼斯堡七桥问题）
欧拉路径：遍历图的每条边一次仅且一次的路径。
欧拉回路：遍历图的每条边一次且仅一次的回路。
欧拉图：具有欧拉回路的图。
注：如果图中存在孤立点并不会影响欧拉路径的讨论，因为欧拉路径的要求是遍历图中的每条边而非遍历图中的顶点。
判断一个无向连通图是否为欧拉图的 充分必要条件：一个无向连通图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点的度数均为偶数。
判断一个有向连通图是否为欧拉图的 充分必要条件：一个有向连通图是欧拉图，当且仅当该图的每个顶点的出度等于入度。
哈密顿回路有关定理：（遍历正12面体的每个顶点一次最后回到顶点）
哈密顿路径：在无向图中，遍历图中每个顶点一次且仅一次的路径。
哈密顿回路：遍历图中每个顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
哈密顿图：具有哈密顿回路的图。
判断哈密顿回路存在的必要条件：
设图G<V,E>是哈密顿图，则，对V的每个非空真子集S均有w（G-S）≤|S|，其中|S|是S的点数，w（G-S）表示G删去顶点集S后得到的图的连通分图的个数。
注：必要条件只是可以用来判断某些图是否是哈密顿图，不能判断所有的有该性质的图，如彼德森图。
判断哈密顿回路存在的充分条件：
若图G<V,E>是具有n≥3个顶点的简单无向图，且在图中每一对顶点的度数和都不小于n，那么图中必然存在一条哈密顿回路。
注：满足充分条件的图一定是哈密顿图，但是不满足该条件的也可能是哈密顿图
