CF1982F Sorting Problem Again 题解
题目链接：CF 或者 洛谷
解题思路
这题放 \(F\) 虚高了。做法很多，讲一个比较直观的前提想法：
我们定义个辅助数组 \(v\)，满足 \(v[i]=a[i] \ge a[i-1]\)，那么一个直观的想法：
\(v\) 数组可能长这样：\(11110010110001111\)。我们需要做的很显然就是找到一对 \([l,r]\)，使得这个范围内的排序以后，\(v\) 变为了 \(111111111111\)。
一个非常直观的想法就是先找出 \(L=left0\)，\(R=right0\)，即最左边的 \(0\) 与 最右边的 \(0\)。
这里稍微注意一下，\(v[left0]<v[left0-1]\)，所以其实我们这个时候要修改的范围其实应该是需要包括 \(left0-1\) 的，否则无论怎么排序，\(a[left0]\) 一定在 \(a[left0-1]\) 的右侧不满足题意。所以不妨让：\(L=left0-1,R=right0\)。
那么我们难道翻转下 \([L,R]\) 就一定能让中间的所有 \(0 \rightarrow 1\) 吗？这次样例给的很充分，观察样例 \(2\) 你就会发现一个事实：
当你将 \([L,R]\) 内排序以后，\([L+1,R]\) 一定都是 \(1\)，满足 \(a[i]\ge a[i-1]\)，但你观察一下，\(a[L]\ge a[L-1]\) 与 \(a[R+1] \ge a[R]\)，这两个是不一定成立的，这取决于以下事实：
不妨设：\(Min=\min{a[l\sim r]},Max=\max{a[l \sim r]}\)。我们很容易知道一个事实，假设答案为 \([ansL,ansR]\)，那么一定有
\(a[1\sim ansL-1] \le Min\) 与 \(a[ansR+1,n] \ge Max\) 成立。所以真正的 \(ansL\) 与 \(ansR\) 还需要往左右两边去确定。
实现方式
关于问题 \(1\)，我们可以预处理出 \(v\) 数组，而每次修改 \(a[pos]=val\)，我们观察到 \(v\) 数组至多变化两个位置：\(v[pos],v[pos+1]\)，那么其实修改就仅仅只是单点修改问题。关于查询 \(left0\) 和 \(right0\)，这是一个很经典的问题，本身这个 \(01\) 并无单调性，但我们可以增加 \(minVal\) 属性，或者 \(sum\) 属性，这样即具备单调性。
对于 \(sum\) 属性，由于都是非负数，那么和区间长度呈正相关，你二分的 \(check\) 仅仅是 \(len?=sum\) 即可。
对于 \(min\) 属性，如果区间出现过 \(0\)，就往区间里找(此时 \(min=0\))，没有就往外找 \(0\)。从左往右或者从右往左二分。
上述过程的实现方式：由于涉及到单修和前后缀上二分。所以常见的我们有这几种思路：
-
\(\text{二分+线段树/树状数组}\)
-
\(\text{线段树/文艺平衡树上二分}\)
-
\(\text{树状数组上倍增}\)
关于第二个问题，我们需要找到前后缀中满足 \(\le Min\) 的最大位置 \(l\)，还有 \(\ge Max\) 的最小位置 \(r\)，而 \(l+1\) 与 \(r-1\) 才是所求，所以可以查第一个不满足点即可。
做法很多：
-
\(\text{二分+区间线段树或者文艺平衡树维护区间最值}\)
-
\(\text{区间线段树或者文艺平衡树维护区间最值,树上二分}\)
-
\(\text{树状数组上倍增}\)
-
\(\text{值域作轴,权值为下标,维护区间最小和最大值,直接做值域上的限制查询}\)，可以用：\(\text{权值树状数组、权值线段树、普通平衡树等等}\)。
其中注意一点，就是可能会出现不存在的 \(l\) 和 \(r\)，或者 \(pre\) 和 \(suf\) 完全满足。我们可以为了减少特判增加哨兵节点：\(a[0]=-INF,a[n+1]=INF\)，\(v[0]=v[n+1]=1\) 即可。
这里使用的是线段树上二分的做法，具体参见代码实现。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
// #define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c) if (b & 1) (ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-') sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char)) return;
if (x < 0) x = -x, putchar('-');
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow) return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3()
{
one = tow = three = 0;
}
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y) x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y) x = y;
}
constexpr int N = 5e5 + 10;
constexpr int INF = 1e9 + 7;
int n, q;
int a[N], v[N]; //v[i]=a[i]>=a[i-1]
//ordMin 为v的区间最小值
//valMin与valMax为a数组的区间最值
struct Node
{
int ordMin;
int valMin, valMax;
} node[N << 2];
#define ordMin(x) node[x].ordMin
#define valMin(x) node[x].valMin
#define valMax(x) node[x].valMax
inline void pushUp(const int curr)
{
valMin(curr) = min(valMin(ls(curr)),valMin(rs(curr)));
valMax(curr) = max(valMax(ls(curr)),valMax(rs(curr)));
ordMin(curr) = min(ordMin(ls(curr)),ordMin(rs(curr)));
}
inline void update(const int curr, const int pos, const int ordVal, const int val, const int l = 0, const int r = n + 1)
{
if (l == r)
{
valMin(curr) = valMax(curr) = val;
ordMin(curr) = ordVal;
return;
}
const int mid = l + r >> 1;
if (pos <= mid) update(ls(curr), pos, ordVal, val, l, mid);
else update(rs(curr), pos, ordVal, val, mid + 1, r);
pushUp(curr);
}
inline void build(const int curr = 1, const int l = 0, const int r = n + 1)
{
if (l == r)
{
valMax(curr) = valMin(curr) = a[l];
ordMin(curr) = v[l];
return;
}
const int mid = l + r >> 1;
build(ls(curr), l, mid);
build(rs(curr), mid + 1, r);
pushUp(curr);
}
//二分出left0
inline int ordLeft(const int curr = 1, const int l = 0, const int r = n + 1)
{
if (l == r) return l;
const int mid = l + r >> 1;
if (ordMin(ls(curr)) != 1) return ordLeft(ls(curr), l, mid);
return ordLeft(rs(curr), mid + 1, r);
}
//二分出right0
inline int ordRight(const int curr = 1, const int l = 0, const int r = n + 1)
{
if (l == r) return l;
const int mid = l + r >> 1;
if (ordMin(rs(curr)) != 1) return ordRight(rs(curr), mid + 1, r);
return ordRight(ls(curr), l, mid);
}
//查找r<=R,且pre>val的第一个下标
inline int valPre(const int curr, const int R, const int val, const int l = 0, const int r = n + 1)
{
const int mid = l + r >> 1;
if (r <= R)
{
if (l == r) return valMax(curr) > val ? l : -1;
if (valMax(ls(curr)) > val) return valPre(ls(curr), R, val, l, mid);
return valPre(rs(curr), R, val, mid + 1, r);
}
const int ansL = valPre(ls(curr), R, val, l, mid);
return ansL != -1 ? ansL : valPre(rs(curr), R, val, mid + 1, r);
}
//查找l>=L,且suf<val的第一个下标
inline int valSuf(const int curr, const int L, const int val, const int l = 0, const int r = n + 1)
{
const int mid = l + r >> 1;
if (L <= l)
{
if (l == r) return valMin(curr) < val ? l : -1;
if (valMin(rs(curr)) < val) return valSuf(rs(curr), L, val, mid + 1, r);
return valSuf(ls(curr), L, val, l, mid);
}
const int ansR = valSuf(rs(curr), L, val, mid + 1, r);
return ansR != -1 ? ansR : valSuf(ls(curr), L, val, l, mid);
}
pii operator+(const pii& L, const pii& R)
{
return pii(min(L.first, R.first), max(L.second, R.second));
}
inline pii query(const int curr, const int l, const int r, const int s = 0, const int e = n + 1)
{
if (l == s and e == r) return pii(valMin(curr),valMax(curr));
const int mid = s + e >> 1;
if (r <= mid) return query(ls(curr), l, r, s, mid);
if (l > mid) return query(rs(curr), l, r, mid + 1, e);
return query(ls(curr), l, mid, s, mid) + query(rs(curr), mid + 1, r, mid + 1, e);
}
inline void getAns()
{
const int L = ordLeft() - 1; //left0-1
if (L == n)
{
cout << -1 << ' ' << -1 << endl;
return;
}
const int R = ordRight(); //right0
const auto [mi,mx] = query(1, L, R); //[L,R]上的Min,Max
const int l = valPre(1, L, mi); //pre>val的第一个下标,也可以不用坐标域限制,直接查找和L取min
const int r = valSuf(1, R, mx); //suf<val的第一个下标,也可以不用坐标域限制,直接查找和R取max
cout << (l == -1 ? L : l) << ' ' << (r == -1 ? R : r) << endl; //不存在就是全部满足
}
inline void solve()
{
cin >> n;
a[0] = -INF, a[n + 1] = INF;
v[0] = v[n + 1] = 1;
forn(i, 1, n) cin >> a[i], v[i] = a[i] >= a[i - 1];
build();
getAns();
cin >> q;
while (q--)
{
int pos, val;
cin >> pos >> val;
a[pos] = val;
v[pos] = a[pos] >= a[pos - 1];
v[pos + 1] = a[pos + 1] >= a[pos];
update(1, pos, v[pos], a[pos]);
update(1, pos + 1, v[pos + 1], a[pos + 1]);
getAns();
}
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
cin >> test;
forn(i, 1, test) solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
\[时间复杂度为:\ O(q\log{n})
\]
