[HDU3685 Rotational Painting]

[关键字]：数学 计算几何

[题目大意]：给出一个多边形，判断有多少种稳定的摆放方法。

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[分析]：从物理角度分析，多边形的稳定方法就是重心的垂足落在支撑边以内（不含顶点），而因为有可能会有凹多边形出现所以支撑边一定是所有点的凸包的边。现在问题转化成了：

（1）、求凸包：可以用Graham_Scan搞定

（2）、求重心：这个比较麻烦，有一堆的公式我也不会证明记住就行，真要想弄明白还是自己找计算几何的书看吧（谁搞懂了可以告诉我一声）。首先对多边形进行三角剖分（从0号点到i和i+1构成三角形），每个三角形的重心坐标就是x_i=(x₀+x_i+x_i+1)/3，y_i=(y₀+y_i+y_i+1)/3，然后三角形的有向面积G(i)就是它的两条边（0，i）和（0，i+1）的叉积。整个多边形的重心坐标就是

x₀=Σx_iG(i)/ΣG(i)，y₀=Σy_iG(i)/ΣG(i)。

（3）、枚举支撑边，判断重心的垂足是否在边上：从重心到支撑边的两顶点连边和支撑边构成的角应该都是锐角——这两条边和支撑边的点积应该都大于0

[代码]：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int MAXN=100010;
const double ZERO=1e-8;

struct node
{
    double x,y;
}q[MAXN],p[MAXN];
int N,M;

void Init()
{
    scanf("%d",&N);
    for (int i=0;i<N;i++) 
        scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
}

double det(node a,node b,node c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}

double dot(node a,node b,node c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.x-a.x)+(b.y-a.y)*(c.y-a.y);
}

double det3(node a,node b,node c)
{
    double s=det(a,b,c);
    if (fabs(s)<=ZERO) return 0;
    if (s<0) return -1; else return 1;
}

void Graham_scan(node *c,int &M0,int base,node q)
{
    while (M0>base && det3(c[M0-2],c[M0-1],q)<=0) --M0;
    c[M0]=q;
    ++M0;
}

bool cmp(node a,node b)
{
    if ((a.y<b.y) || (a.y==b.y && a.x<b.x)) return 1; else return 0;
}

node c[MAXN];
void Graham(node *p,int N0,node *q,int &M0)
{
    for (int i=0;i<=N0;++i) q[i]=p[i];
    sort(q,q+N0,cmp);
    M0=0;
    for (int i=0;i<N0;++i)
        Graham_scan(c,M0,1,q[i]);
    int M1=M0;
    for (int i=N0-1;i>=0;--i)
        Graham_scan(c,M0,M1,q[i]);
    for (int i=0;i<M0;++i)
        q[i]=c[i];
}

int Find(node a,node b,node c)
{
    double s=dot(b,a,c);
    if (s>ZERO) return 0; else return 1;
}

bool Cleck(node a,node b,node c)
{
    return ((!Find(a,b,c))&&(!Find(a,c,b)));
}

void Solve()
{
    node o,o1;
    double s=0,s1;
    o.x=o.y=0;
    for (int i=1;i<N-1;++i)
    {
        o1.x=(p[0].x+p[i].x+p[i+1].x)/3;
        o1.y=(p[0].y+p[i].y+p[i+1].y)/3;
        s1=det(p[0],p[i],p[i+1]);
        s+=s1;
        o.x+=o1.x*s1;
        o.y+=o1.y*s1;
    }
    o.x/=s;
    o.y/=s;
    Graham(p,N,q,M);
    q[M]=q[0];
    int ans=0;
    for (int i=0;i<M;++i)
        if (Cleck(o,q[i],q[i+1])) ++ans;
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    int test;
    scanf("%d",&test);
    while (test--)
    {
        Init();
        Solve();
    }
    return 0;
}