题目描述
变态杀人狂三师弟想到一个杀人游戏
游戏规则如下:
三师弟抓了n个人
对这n个人进行编号,分别从1到n,排成一个圈,顺时针从1开始数到m,数到m的人被杀,剩下的人继续游戏,活到最后的一个人是胜利者。请输出每次被杀的人的编号
注意最后一个活着的人不用输出
输入
多组测试数据,输入n和m值。1<n,m<200,EOF结束
输出
输出每次被杀的人的编号 注意 最后一个人不用输出
样例输入
5 3
样例输出
3
1
5
2
分析:
关于约瑟夫环问题,无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
解x' ----> 解为x
注意<x’就是最终的解>
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!下面举例说明:
假设现在是6个人(编号从0到5)报数,报到(2-1)的退出,即<m=2>。那么第一次编号为1的人退出圈子,从他之后的人开始算起,序列变为2,3,4,5,0,即问题变成了这5个人报数的问题,将序号做一下转换:
2 -->0
3 -->1
4 -->2
5 -->3
0 -->4
现在假设x为0,1,2,3,4的解,x'设为那么原问题的解(这里注意,2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解,因为1出去了,结果还是一个),根据观察发现,x与x'关系为x'=(x+m)%n,因此只要求出x,就可以求x'。x怎么求出呢?继续推导吧。0,1,2,3,4,,同样是第二个1出列,变为(2,3,4,0),转换下为
2 -->0
3 -->1
4 -->2
0 -->3
很简单,同样的道理,公式又出来了,x=(x''+m)%5,这里变成5了。即求n-1个人的问题就是找出n-2的人的解,n-2就是要找出n-3,等等
因此,就可以回去看上面的推导过程了。
好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
代码:
#include<stdio.h>
int main()
{
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n!=0&&m!=0)
{
int i=0,j=0,a[205]= {0},t=0;
while(1)
{
j++;
if(a[j%n]==0)
i++;
if(i==m)
{
i=0;
a[j%n]=1;
t++;
if(j%n==0)
printf("%d\n",n);
else
printf("%d\n",j%n);
}
if(t==n-1)
break;
}
}
return 0;
}