最大子数组算法

1. 求最大的子数组的和

题目：输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。 

如果不考虑时间复杂度，我们可以枚举出所有子数组并求出他们的和。不过非常遗憾的是，由于长度为n的数组有O(n2)个子数组；而且求一个长度为n的数组的和的时间复杂度为O(n)。因此这种思路的时间是O(n3)。

很容易理解，当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。基于这样的思路，我们可以写出如下代码。

参考代码：

#include <iostream>

using namespace std;

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find the greatest sum of all sub-arrays
// Return value: if the input is valid, return true, otherwise return false
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool FindGreatestSumOfSubArray
	(
	int *pData,           // an array
	unsigned int nLength, // the length of array
	int &nGreatestSum     // the greatest sum of all sub-arrays
	)
{
	// if the input is invalid, return false
	if((pData == NULL) || (nLength == 0))
		return false;

	int nCurSum = nGreatestSum = 0;
	for(unsigned int i = 0; i < nLength; ++i)
	{
		nCurSum += pData[i];

		// if the current sum is negative, discard it
		if(nCurSum < 0)
			nCurSum = 0;

		// if a greater sum is found, update the greatest sum
		if(nCurSum > nGreatestSum)
			nGreatestSum = nCurSum;
	}
	// if all data are negative, find the greatest element in the array
	if(nGreatestSum == 0)
	{
		nGreatestSum = pData[0];
		for(unsigned int i = 1; i < nLength; ++i)
		{
			if(pData[i] > nGreatestSum)
				nGreatestSum = pData[i];
		}
	}

	return true;
}

int main()
{
	int arr[] = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
	int iGreatestSum;
	FindGreatestSumOfSubArray(arr, sizeof(arr)/sizeof(int), iGreatestSum);
	cout << iGreatestSum << endl;

	return 0;
}

/* 结果：
18
*/

讨论：上述代码中有两点值得和大家讨论一下：

• 函数的返回值不是子数组和的最大值，而是一个判断输入是否有效的标志。如果函数返回值的是子数组和的最大值，那么当输入一个空指针是应该返回什么呢？返回0？那这个函数的用户怎么区分输入无效和子数组和的最大值刚好是0这两中情况呢？基于这个考虑，本人认为把子数组和的最大值以引用的方式放到参数列表中，同时让函数返回一个函数是否正常执行的标志。
• 输入有一类特殊情况需要特殊处理。当输入数组中所有整数都是负数时，子数组和的最大值就是数组中的最大元素。

2. 求和最大的子数组

如果要想取得与和最大值相应的子数组该怎么办呢？有了上面的基础，这也不难，把最大子数组的首尾下标记录下来就得了。在方法FindGreatestSumOfSubArray中添加两个参数start和end，用于返回最大子数组的下标，代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find the greatest sum of all sub-arrays
// Return value: if the input is valid, return true, otherwise return false
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool FindGreatestSumOfSubArray
	(
	int *pData,           // an array
	unsigned int nLength, // the length of array
	int &nGreatestSum,    // the greatest sum of all sub-arrays
	int &start,							// Added
	int &end							// Added
	)
{
	// if the input is invalid, return false
	if((pData == NULL) || (nLength == 0))
		return false;

	int nCurSum = nGreatestSum = 0;
	int curStart = 0, curEnd = 0;		// Added
	start = end = 0;					// Added
	for(unsigned int i = 0; i < nLength; ++i)
	{
		nCurSum += pData[i];
		curEnd = i;						// Added

		// if the current sum is negative, discard it
		if(nCurSum < 0)
		{
			nCurSum = 0;
			curStart = curEnd = i + 1;	// Added
		}

		// if a greater sum is found, update the greatest sum
		if(nCurSum > nGreatestSum)
		{
			nGreatestSum = nCurSum;
			start = curStart;			// Added
			end = curEnd;				// Added
		}
	}
	// if all data are negative, find the greatest element in the array
	if(nGreatestSum == 0)
	{
		nGreatestSum = pData[0];
		start = end = 0;				// Added
		for(unsigned int i = 1; i < nLength; ++i)
		{
			if(pData[i] > nGreatestSum)
			{
				nGreatestSum = pData[i];
				start = end = i;		// Added
			}
		}
	}

	return true;
}

int main()
{
	int arr[] = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
	int iGreatestSum, start, end;
	FindGreatestSumOfSubArray(arr, sizeof(arr)/sizeof(int), iGreatestSum, 
		start, end);

	cout << iGreatestSum << ": ";
	for(int i = start; i <= end; i++)
	{
		cout << arr[i] << " ";
	}

	return 0;
}

/* 结果：
18: 3 10 -4 7 2
*/