四个基本子空间 Four Fundamental Subspaces

本节讨论四个基本子空间和关于它们的描述（基、维数）。

首先对这四个空间进行说明：列空间（column space），记为\(C\left(\symbfit{A}\right)\)；零空间（nullspace），记为\(N\left(\symbfit{A}\right)\)；行空间（row space），记为\(C\left(\symbfit{A}^T\right)\)；左零空间（left nullspace），记为\(N\left(\symbfit{A}^T\right)\)。

其中前两个在之前已经详细讨论过，后两个在本节详细讨论。行空间与列空间类似，是矩阵各行向量的线性组合得到的空间，实际上也就是该矩阵的转置的列空间；左零空间实际上是矩阵的转置的零空间，之所以称其为“左”零空间，在之后有说明。

这四个基本子空间的定义已经明了，还要确定这些空间的基和维数，才算是真正了解它们。首先将这4个空间的维数的结果展示出来，随后再进行说明：

对于一个\(m \times n\)矩阵，列空间的维数是秩\(r\)，行空间的维数也是秩\(r\)，零空间的维数是\(n-r\)，左零空间的维数是\(m-r\)。可以观察发现，列空间和左零空间秩的和是矩阵的列数\(m\)，而行空间和零空间秩的和是矩阵的行数\(n\)。再一个需要说明的一点是\(C\left(\symbfit{A}^T\right)\)和\(N\left(\symbfit{A}\right)\)共同组成了空间\(\mathbb{R}^n\)，\(C\left(\symbfit{A}\right)\)和\(N\left(\symbfit{A}^T\right)\)共同组成了空间\(\mathbb{R}^m\)。

关于各个空间的基，在之前我们就知道，列空间的一组基就是对应矩阵的主列，而零空间的一组基便是对应矩阵的自由列。而对于行空间和左零空间，自然可以先对矩阵做转置运算，再分别求它的列空间和零空间，但是细究发现，有其他的解决办法：

首先考虑行空间，以矩阵\(\symbfit{A}=\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}\)为例，它可以转变成行最简式\(\symbfit{R}=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)，由于进行的都是初等行变换，那么可以得知\(\symbfit{A}\)的列空间和\(\symbfit{R}\)的列空间是不相同的，但是它们的行空间是相同的，\(\symbfit{A}\)的行空间不好计算，但是\(\symbfit{R}\)的行空间好算，显然行空间的基就是它的前2行。无论是\(\symbfit{A}\)还是\(\symbfit{R}\)，都是行最简形矩阵\(\symbfit{R}\)的前\(r\)行，而且\(\symbfit{R}\)中有\(r\)个主元，\(r\)个非零行，它们都在行空间中，且线性无关，也正是行空间的基。

关于左零空间，即\(N\left(\symbfit{A}^T\right)\)，根据定义可以设\(\symbfit{A}^T\symbfit{y}=\symbfit{0}\)，但是我们习惯上对\(\symbfit{A}\)进行操作，因此可以对方程两边同时取转置：

\[\symbfit{y}^T\symbfit{A}=\symbfit{0}^T \]

回想之前讲到的高斯-若尔当消元法，不妨将那个方法做个变形，用在这里：构造矩阵\(\begin{bmatrix}\symbfit{A}&\symbfit{I}\end{bmatrix}\)，其中\(\symbfit{A}\)为\(m\times n\)大小的矩阵，\(\symbfit{I}\)为\(m\times m\)大小的单位矩阵，采用对\(\symbfit{A}\)化为行最简形矩阵的步骤，同时处理这两个矩阵，便得到\(\begin{bmatrix}\symbfit{R}&\symbfit{E}\end{bmatrix}\)，这里的矩阵\(\symbfit{E}\)就把初等行变换的步骤“记录”下来了，也就是可以写作\(\symbfit{E}\begin{bmatrix}\symbfit{A}&\symbfit{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\symbfit{R}&\symbfit{E}\end{bmatrix}\)。

关于这里\(\symbfit{E}\)放在左边，可以参考文章三《乘法和逆矩阵》，其中表述到了关于矩阵乘法\(\symbfit{A}\symbfit{B}=\symbfit{C}\)，可以理解为对\(\symbfit{B}\)各行的线性组合，而\(\symbfit{A}\)告诉\(\symbfit{B}\)是怎样的线性组合。本公式亦是同理。

这样我们就得到了一个公式\(\symbfit{E}\symbfit{A}=\symbfit{R}\)，如果\(\symbfit{A}\)可逆，那么\(\symbfit{R}=\symbfit{I}\)，\(\symbfit{E}=\symbfit{A}^{-1}\)，也就是高斯-若尔当消元法。

不妨利用之前的例子，演示一遍该步骤：

\[\left[\begin{array}{c:c} \symbfit{A} & \symbfit{I} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc:ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]

row2-row1，row3-row1：

\[\left[\begin{array}{cccc:ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \]

row2×(-1)：

\[\left[\begin{array}{cccc:ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \]

row1-2row2：

\[\left[\begin{array}{cccc:ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c:c} \symbfit{R} & \symbfit{E} \end{array}\right] \]

得到\(\symbfit{E}=\begin{bmatrix}-1&2&0\\1&-1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\)。可以发现\(\symbfit{R}\)的最后一行全是0，那么就推出\(\symbfit{E}\)的最后一行就是所求的基，维数为1（结合之前提到的\(\symbfit{y}^T\symbfit{A}=\symbfit{0}^T\)不难得出）。

下面进行一些扩展，有一个新的“向量空间”比较特殊，记为\(\symbf{M}\)，它把矩阵看作是“向量”，也就是说，这个空间中的矩阵满足向量的运算规则，即矩阵的加减法和数乘运算（线性组合），而且存在某个线性组合的结果为零矩阵（目前只关心\(\symbfit{A}+\symbfit{B}\)、\(c\symbfit{A}\)的形式，不考虑\(\symbfit{A}\symbfit{B}\)）。那么问题是，这个空间的子空间是什么？以\(3\times 3\)矩阵为例：

显然所有的上（下）三角矩阵、所有的对称矩阵都满足子空间的要求，而且它们的交集：所有的对角矩阵\(\symbfit{D}\)也是子空间。而且\(\symbfit{D}\)的维数也很好确认：3，因为只需要3个矩阵就可以线性组合得到所有对角矩阵，例如\(\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)、\(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)。这个空间就是把\(\symbfit{R}^n\)扩展成了\(\symbfit{R}^{n\times n}\)。