线性无关性、张成、基、维数 Linear independence, span, basis, dimension

线性无关性、张成、基、维数 Linear independence, span, basis, dimension

​ 考虑\(m\times n\)矩阵\(\symbfit{A}\)\(m<n\)),那么未知数\(x\)的个数大于方程的个数,就一定存在至少一个自由变量,\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{0}\)含有非零解。\(\symbfit{A}\)的列向量含有非零系数组合使得组合为零向量,那么称这一组列向量线性相关。

​ 下面给出详细的定义:

​ 对于向量\(\symbfit{x}_1,\dots, \symbfit{x}_n\)不存在结果为零向量的系数不全为0的组合,即

\[c_1\symbfit{x}_1+\cdots+c_n\symbfit{x}_n\neq\symbfit{0}(c_i不全为0) \]

那么就称这组向量是线性无关linear independence)的,反之,称这组向量是线性相关linear dependence)的。

​ 下面考虑4种情况(如果没有特别说明,默认向量\(\symbfit{v}_i\neq\symbfit{0}\)):

  1. 一组向量:\(\symbfit{v}_1\)\(\symbfit{v}_2=2\symbfit{v}_1\),那么有\(-2\symbfit{v}_1+\symbfit{v}_2=\symbfit{0}\),这组向量是线性相关的(共线);
  2. 一组向量:\(\symbfit{v}_1\)\(\symbfit{v}_2=\symbfit{0}\),那么有\(0\symbfit{v}_1+c_2\symbfit{v}_2=\symbfit{0}\)\(c_2\)可取\(0\)之外的任意值,这组向量是线性相关的;
  3. 一组向量:\(\symbfit{v}_1\)\(\symbfit{v}_2\),这两个向量并不共线,它们组成了一个平面,这组向量是线性无关的;
  4. 一组向量:\(\symbfit{v}_1\)\(\symbfit{v}_2\)\(\symbfit{v}_3\),这三个向量在一个平面上,其中任意2个向量都能组合成平面内任一向量,这组向量是线性相关的;

​ 当\(\symbfit{v}_1,\dots, \symbfit{v}_n\)\(\symbfit{A}\)的列向量,

  1. 如果它们是线性无关的,那么\(N\left(\symbfit{A}\right)\)中只有零向量,因为没有自由变量,所有列都是主列(\(n\)个主列),秩是\(n\)
  2. 如果它们是线性相关的,那么对于一些非零向量\(\symbfit{c}\)\(\symbfit{A}\symbfit{c}=\symbfit{0}\),秩小于\(n\)

​ 如果向量组\(\symbfit{v}_1,\dots, \symbfit{v}_n\)张成了一个空间span a space),那么就是说这个空间\(\color{red}{只}\)由这些向量的所有线性组合组成。这个空间不同于其他包含这组向量的其他空间,这是包含这组向量的最小空间!

​ 向量空间的一组basis)是指:一系列的向量\(\symbfit{v}_1,\dots, \symbfit{v}_d\)有2大性质:

  1. 它们是线性无关的;
  2. 它们张成整个空间。

​ 例如空间\(\mathbb{R}^3\),它的一组基是\(\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}\),显然,它们是线性无关的,而且可以组成空间\(\mathbb{R}^3\)。再举个例子,\(\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\5\end{bmatrix}\right\}\)就不是一组基,它们虽然线性无关,但是只能张成一个平面,需要再增加一个向量,比如\(\begin{bmatrix}0\\4\\\pi\end{bmatrix}\),这样就可以张成整个三维空间了。

​ 观察这两组基可以发现(不严谨),\(\mathbb{R}^n\)\(n\)个向量组成基,以这\(n\)个向量为列的\(n\times n\)矩阵是可逆的。对于给定空间,任意基都满足:基向量的个数相等,这个数量称为空间的维数dimension)。

\(C\left(\symbfit{A}\right)\)的维数等于\(r\left(\symbfit{A}\right)\),等于\(\symbfit{A}\)的主列数;\(N\left(\symbfit{A}\right)\)的维数等于\(n-r\),等于\(\symbfit{A}\)的自由列数。

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