向量空间 Vector Spaces

向量空间 Vector Spaces

​ 在Gilbert Strang教授的书中,提到了导数的转置(The Transpose of a Derivative )。在正式的向量空间内容之前,可以先了解一下导数与矩阵转置的联系。

​ 考虑将矩阵看做一个运算符(或者说,算子),对于函数x(t)的线性代数。假设A=d/dt,即表示这种运算。为了找到这种不寻常的A的转置,需要先定义两个函数x(t)y(t)的内积。

​ 内积由xkyk的求和延伸到函数x(t)y(t)的积分:

xTy=(x,y)=x(t)y(t)dt

由内积的定义可知对转置AT的要求,不过应用在导数中,“伴随”比“转置”更合适。矩阵的转置有(Ax)Ty=xT(ATy)A=d/dt的伴随有

(Ax,y)=dxdty(t)dt=x(t)(dydt)dt=(x,ATy)

导数就这样从对x(t)求导变成了对y(t)求导,经过这个变换,一个负号产生了。这就告诉我们,导数的转置就是它的负数。导数是反对称的A=d/dtAT=d/dt,即AT=A

​ 导数的这种反对称性同样适用于中心差分矩阵( centered difference matrices)。前向差分矩阵转换成后向差分矩阵乘以1,在微分方程中,二阶导数是对称的,而一阶导数是反对称的。


​ 回到正题,讨论向量空间及其子空间。

​ 之前所说的都是矩阵,其中包含许多向量(一般为列向量)。本节不考虑单独的向量,而考虑向量组成的一个“空间”。向量空间(Vector Space),通常记为R1,R2,。每个向量空间Rn都由一组完整的向量组成,比如R3包含所有具有3个分量的列向量,被称为“三维空间”。空间Rn包含具有n个分量的所有的列向量vv的分量都是实数,这也是其字母R的原因。如果其分量为复数,那么就存在于空间Cn中。

R2表示的通常是整个xy平面,如[10]等都在R2中,类似地,R1表示一条线(比如说x轴等)。举几个例子:

[4π]R2中,(1,1,0,1,1)R5中,[1+i1i]C2中。

​ 使用线性代数的好处在于对于抽象的高维空间,我们很难直接想象其几何特征,但是我们可以简单使用几个数字表征一个向量。

​ 下面说一下向量空间的规则:向量空间中的向量必须能进行加法和数乘运算(线性组合),且结果仍在该向量空间中(封闭性)

​ 那么除了Rn,还有其他的空间属于向量空间吗?也就是说,是否存在包含于Rn的向量空间,既满足规则,又无需包含所有向量?

​ 答案是存在的,这种向量空间称为Rn的子空间(subspace)。

​ 简单起见,还是从R2开始。任取一个向量,不管乘以什么数,都在这个子空间中,那么得到的一定是一条直线,而且由于加法的封闭性,该直线一定要经过原点(自己减自己,得到零向量)。

​ 不难得出,R2的子空间有以下三种:

  1. R2本身;
  2. 穿过原点,两端无限延伸的直线;
  3. 只包含零向量,通常记为Z

​ 同理,R3的子空间有以下四种:

  1. R3本身;
  2. 穿过原点,无限延伸的平面;
  3. 穿过原点,无限延伸的直线;
  4. 只包含零向量,Z

​ 最后再说一下通过矩阵构造列空间。

​ 比如矩阵A=[132341],其各列属于R3,这两列的所有线性组合就构成了一个列空间(column space),记为C(A)。这样实际上得到了一个过原点的平面。

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