向量空间 Vector Spaces
向量空间 Vector Spaces
在Gilbert Strang教授的书中,提到了导数的转置(The Transpose of a Derivative )。在正式的向量空间内容之前,可以先了解一下导数与矩阵转置的联系。
考虑将矩阵看做一个运算符(或者说,算子),对于函数
内积由
由内积的定义可知对转置
导数就这样从对
导数的这种反对称性同样适用于中心差分矩阵( centered difference matrices)。前向差分矩阵转换成后向差分矩阵乘以
回到正题,讨论向量空间及其子空间。
之前所说的都是矩阵,其中包含许多向量(一般为列向量)。本节不考虑单独的向量,而考虑向量组成的一个“空间”。向量空间(Vector Space),通常记为
使用线性代数的好处在于对于抽象的高维空间,我们很难直接想象其几何特征,但是我们可以简单使用几个数字表征一个向量。
下面说一下向量空间的规则:向量空间中的向量必须能进行加法和数乘运算(线性组合),且结果仍在该向量空间中(封闭性)。
那么除了
答案是存在的,这种向量空间称为
简单起见,还是从
不难得出,
本身;- 穿过原点,两端无限延伸的直线;
- 只包含零向量,通常记为
。
同理,
本身;- 穿过原点,无限延伸的平面;
- 穿过原点,无限延伸的直线;
- 只包含零向量,
。
最后再说一下通过矩阵构造列空间。
比如矩阵
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