乘法和逆矩阵 matrix multiplication and inverses

乘法和逆矩阵 matrix multiplication and inverses

​ 首先说一下矩阵乘法。在之前的篇章里已经说明过一些矩阵的乘法的理解,在这一篇对整个矩阵乘法做一个概括,并提出新的理解。

​ 我们考虑矩阵乘法:

AB=C

这里Amn列的矩阵,Bnp列的矩阵,则Cmp列的矩阵。

​ 倘若要求解C的第i行第j列的数值(记为ci,j),那么应该让A的第i行的各个元素分别乘以B的第j列的各个对应元素。即:

(1)ci,j=ai,1b1,j+ai,2b2,j+(2)=k=1nai,kbk,j

C中每个元素都可以这么计算。这就是矩阵乘法的第一种方法

​ 再考虑矩阵乘以一列,比如A乘以B的第1列,这样就可以得到C的第一列。这既可以用上面的第一种方法延展而来,也可以理解为之前所说的矩阵乘以一个列向量(B可以考虑为p个单独的列向量),那么这就是A各列的线性组合。由此可以得到矩阵乘法的第二种方法C即为A各列的线性组合,而B中数字告诉是怎样的线性组合

​ 同理,可以得到矩阵乘法的第三种方法C即为B各行的线性组合,而A中数字告诉是怎样的线性组合

​ 接下来再考虑这么一件事:由上述得到矩阵乘法的第二和三种方法,A的一列(m×1)乘以B的一行(1×p)呢?举例:

[234][16]=[212318424]

可以发现,结果的列是原列的倍数,行是原行的倍数。

​ 先给出矩阵乘法的第四种方法A各列与B各行的乘积之和

​ 再考虑一个例子,对上述等式做个扩展:

[273849][1600]=[234][16]+[789][00]=[212318424]

事实上,C可以看作一个行空间,即行所有可能的线性组合。该行空间是一个直线,是行向量(1,6)上的直线,所有行都在此直线上;同理,可以看作为一个列空间,是列向量(2,3,4)上的直线,所有列都在此直线上。

​ 最后再说一下分块乘法(block multiplication):对于运算AB,可以将AB分别分成多块,这些块的大小可不相等如

[A1A2A3A4][B1B2B3B4]=[A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4]

​ 推荐参考【2.5】矩阵分块相乘 - 知乎这篇文章进一步学习。


​ 接下来讨论矩阵的逆

​ 若对于方阵A,存在A1满足下面的等式:

A1A=I=AA1

其中左边为左逆,右边为右逆(AA1=(A1)1A1),则称矩阵A可逆(invertible)或非奇异(non-singular)。

​ 先考虑奇异矩阵,即没有逆的情况。

​ 举例:A=[1326]。假设A乘以某矩阵得到I。那么我们考虑列,结果中的列都应该是A中相应列的倍数(在之前矩阵乘法中得到的结论),而单位矩阵I的第一列为[10],不可能是A各列线性组合而来的,因为A中两列共线,其所有线性组合都在这条直线上,而(1,0)不在。那么我们可以得出一个结论:

如果存在向量x,且x0,使得Ax=0,则称这样的矩阵A没有逆

​ 例如刚才例子的A,如果x[31],则有

Ax=[1326][31]=[00]

简单用反证法证明一下:如果A可逆,那么A1Ax=0Ix=0,即x=0,与x0矛盾,因此原假设成立。这也不难理解,因为若存在向量x,且0,使得Ax=0,则就可以表明A各列经线性组合可以得到零向量,即各列共线(x为行向量,而且这样x应该放在A的左边)或A各行经线性组合可以得到零向量,即各行共线(x为列向量)(这两个实质上是一样的)。

​ 现在考虑可逆的情况,那么我们如何求解逆矩阵呢?假设如下情况:

[1327][acbd]=[1001]

A乘以A1的第j列等于单位矩阵第j列。

​ 下面讨论高斯-若尔当消元法(Gauss-Jordan Elimination),它可以用来同时处理两个方程组,也可以用来求解矩阵的逆。

​ 处理一个方程组:[1327][ab]=[10][1327][cd]=[01]。倘若我们想同时计算这两个方程组,那么我们可以写出增广矩阵:

[A|I]=[13102701][13100121][10730121]

化成左边为单位矩阵I,右边为另一个矩阵的形式,实际上,右边的矩阵就是A的逆矩阵A1。我们对上式的一系列操作可以归结为左乘了一个消元矩阵E,使得EA=I,那么可以推出E=A1,显然我们就实现了

[AI][IA1]

这样就可以简单地计算出逆矩阵了。


  1. 这里为了简便,分别将AB分别分为4块。 ↩︎

posted @   海豹熘鱼片  阅读(52)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 清华大学推出第四讲使用 DeepSeek + DeepResearch 让科研像聊天一样简单!
· 推荐几款开源且免费的 .NET MAUI 组件库
· 实操Deepseek接入个人知识库
· 易语言 —— 开山篇
· Trae初体验
点击右上角即可分享
微信分享提示