求解逆矩阵的常用三种方法

1.待定系数法

矩阵A=
1, 2
-1,-3
假设所求的逆矩阵为
a,b
c,d
则

从而可以得出方程组
a + 2c = 1
b + 2d = 0
-a - 3c = 0
-b - 3d = 1
解得
a=3; b=2; c= -1; d= -1

2.伴随矩阵求逆矩阵

伴随矩阵是矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵。
我们先求出伴随矩阵A*=
-3, -2
1 , 1
接下来，求出矩阵A的行列式|A|
=1*(-3) - (-1)* 2
= -3 + 2
= -1
从而逆矩阵A⁻¹=A*/|A| = A*/(-1)= -A*=
3, 2
-1,-1

 

3.初等变换求逆矩阵

（下面我们介绍如何通过初等(行)变换来求逆矩阵）
首先，写出增广矩阵A|E，即矩阵A右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。
1 2 1 0
-1 -3 0 1
然后进行初等行变换。依次进行
第1行加到第2行，得到
1 2 1 0
0 -1 1 1
第2行×2加到第1行，得到
1 0 3 2
0 -1 1 1
第2行×(-1)，得到
1 0 3 2
0 1 -1 -1

 

 

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