204. 计数质数（素数筛）

给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

 

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：0

 

先上本题做法：（直接用2到sqrt的是过不了的，数据上来就会超时，本题采用欧拉筛，后面会介绍几种求质数的方法）

static bool is_not_p[5000001]; //偷懒写法，因为static在内存中自动用0填充，如果多次运行一定记得初始化为0
vector<int> primes;
class Solution {
public:

    void isPrime(int num){
        for(int i=2;i<=num;i++){
            if(!is_not_p[i]){
                primes.push_back(i);
        //        cout<<i;
            }
            for(int p : primes){
                if(p*i>num) break;
                is_not_p[p*i]=true;
                if(i%p==0) break; //保证被最小因数筛掉，每个数会且只会被筛一遍
            }
        }
    }
    int countPrimes(int n) {
        int ans=0;
        isPrime(n);
        
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(!is_not_p[i]) 
            {
             //   cout<<i<<endl;
                ans++;
            }
        }
        return ans;
    }
};

 

介绍一下几种素数筛，其中在复杂度上，使用欧拉筛最优：

一、朴素筛法

对于每一个i∈[2,n]，枚举[2,i-1] 中是否存在 i 的因子，有=》合数，没有=》素数

又因为对于i而言，因子一定是小于√i的，故枚举可以从 [2,i-1] 优化为 [2,√i]，因此复杂度为n√n。

时间复杂度：

O(n√n)

 

代码如下：

bool isPrime(int num){
        for(int i=2;i<=(int)sqrt(num);i++){
            if(num%i==0) return false;
        }
        return true;
    }

　　

二、埃氏筛法

首先将2到n范围内的所有整数写下来。其中最小的数字2是素数。将表中所有2的倍数都划去。表中剩余的最小数字是3，他不能被更小的数整除，所以3是素数。再将表中所有3的倍数都划去。如果表中剩余的最小数字是m时，m就是素数。然后将m的倍数都划去。依次类推，反复操作，就能依次枚举出n以内的素数。

时间复杂度：

O(n*log(logn))

 

代码如下：

int prime[MAXN];//第i个素数
bool is_prime[MAXN+1];//is_prime[i]为true时表示i为素数

void init(){
    int p=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        is_prime[i]=true;
    }
    is_prime[0]=is_prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(is_prime[i]){
            prime[p++]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
                is_prime[j]=false;
            }
        }
    }
}

 

三、欧拉筛法（线性筛法）

欧拉筛，也叫线性筛，可以在 O（n）时间内完成对2~n的筛选。它的核心思想是：让每一个合数被其最小质因数筛到。

欧拉筛法和埃氏筛法的原理类似…但是欧拉筛法更减少了没有必要的计算，就是增加了处理：每一个被筛掉的数都必须是被它的最小质因子筛掉，为了保证这一点，增添了如下代码：

 

if(i % prime2[k] == 0)//确保是最小质因数
{
    break;
}

时间复杂度：

O(n)

 

完整的算法代码如下：

bool isnp[MAXN];
vector<int> primes; // 质数表
void init(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        if (!isnp[i])
            primes.push_back(i);
        for (int p : primes){
            if (p * i > n)
                break;
            isnp[p * i] = 1;
            if (i % p == 0)
                break;
        }
    }
}

也可以：

const int N = 1000010;
int primes[N], cnt=0;  // primes[0]~primes[cnt-1]存储的是0~n中所有的质数(从小到大)
bool st[N];  // st[i] == true说明i不是质数
// 线性选法，时间复杂度：O(n)
void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

　　

 

参考：

https://juejin.cn/post/7085310292237762574

https://juejin.cn/post/7129079647928582175