欧拉函数的狄利克雷前缀和
关于这个问题，我search了好长时间终于发现一个令人满意的答案。
命题：
\[\sum_{d|n}\varphi(d)=n
\]
证明：
\[\begin{equation*}
\because n=\prod_{i=1}^{m}p_i^{a_i}\\
又\because \varphi(n) 是积性函数\\
\therefore \sum_{d|n}=\sum_{d|n}\prod_{i=1}^{m}\varphi(p_i^{j})\times[p_i^j|d]\\
\begin{aligned}
对上式因式分解可得\ 右边&=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{a_i}\varphi(p_i^j))\\
&=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{a_i}(p_i^j-p_i^{j-1})+1)\\
&=\prod_{i=1}^{m}p_i^{a_i}\\
&=n
\end{aligned}
\end{equation*}
\]
证毕
