Variable变量——二元关系
变量（variable）
【题目描述】
有n个变量w1~w[n]，每个变量可以取W或-W。
有p个式子，形如\(H_i=a_i|w[x_i]-w[y_i]|+b_i|w[y_i]-w[z_i]|\)
\(+c_i|w[z_i]-w[x_i]|+d_i(w[x_i]-w[y_i])+e_i(w[y_i]-w[z_i])+f_i(w[z_i]-w[x_i])\)。
有q个条件，形如w[x]<=w[y]或w[x]=w[y]或w[x]<w[y]。
最小化\(\sum W_i+\sum H_i\)。
【输入数据】
第一行一个整数t表示数据组数。
每组数据第一行四个整数n,W,p,q表示节点数。
接下来p行每行九个整数xi,yi,zi,ai,bi,ci,di,ei,fi。
接下来q行每行三个整数x,y,r。
r=0表示w[x]<=w[y]；r=1表示w[x]=w[y]；r=2表示w[x]<w[y]。
保证存在方案。
【输出数据】
每组数据输出一行一个整数表示\(\sum W_i+\sum H_i\)的最小值。
【样例输入】
1
3 1 1 1
1 2 3 1 1 1 1 1 1
1 2 2
【样例输出】
3
【数据范围】
对于30%的数据，n<=15，p,q<=20。
对于100%的数据，t<=10，n<=500，p,q<=1000。
Solution:
首先，由计算 \(H_i\) 的式子可以发现两点，只有 \(w[x_i],w[y_i]\) 等取不同的值时，才会对 \(H_i\) 产生影响；W只是一个系数，可以直接提出来最后算，变量的值为 \(1,-1\)。
这个题满足一个二元关系的形式。
二元关系：
例如：有n个任务，可以选择A任务或者B任务，代价分别是a,b，还有一些三元组关系，[x,y,z]表示如果x任务和y任务选的任务不同，将会有一个额外的代价z，现在分配任务，使总代价最小。
上面这个图是一个流网络，连到 \(S\) 的点表示选择 \(A\) 任务，连到 \(T\) 的点表示选择 \(B\) 任务，其实很形象。
如果要割断 \(S,T\) 有两类方法：
1.同时割掉 \(a_x,a_y\) 或同时割掉 \(b_x,b_y\)
2.割掉 \(a_x,b_y\) 以及中间的 \(z\) ，或者割掉 \(a_y,b_x\) 以及中间的 \(z\)
方案1.就表示 \(x,y\) 相同，没有额外代价
方案2.就表示 \(x,y\) 不同，有额外代价 \(z\)
（就说这么多吧，足够这个题了，详见上方的图片来源）
以 \(x,y\) 为例（已经将 \(W\) 提出）
1.如果 \(w[x_i],w[y_i]\) 取不同的值时，答案一定会增加（哪怕增加 \(0\)）
2.如果 \(w[x_i]=-1\) ，没有绝对值得部分对答案的贡献为 \(-(d-f)-1\) ，同理当 \(w[x_i]=1\) 时对答案的贡献为 \((d-f)+1\)
由上面的二元关系，直接就可以建图出来。
题目中还有一些其他限制
1.对于 \(x<y\) ,连 \(x,T\) 边权为 \(\infty\),连 \(S,y\) 边权为 \(\infty\)。表示 \(w[x]\) 必须取 \(-1\),\(w[x]\) 必须取 \(1\)（不然网络割不断）
2.对于 \(x=y\) ,连 \(x,y\)，\(y,x\)，边权为 \(\infty\)
3.对于 \(x<=y\) ,连\(x,y\)，边权为 \(\infty\)
最后跑最小割即可
注：
1.不要忘了答案最后要乘 W
2.对于负边权，没法跑最小割，有两种解决方法，一种把建图方式改一改，另一种直接把连到 S,T 的边权加上 OFFSET，最后最小割减去 n*OFFSET
//OFFSET法
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 500+9;
int n,W,p,q;
LL val[MAXN];
const LL INF = 2000000000000000LL;
const LL OFFSET = 10000000000LL;
int S,T;
struct E{
int next,to;
LL val;
}edge[MAXN*MAXN*20];
int head[MAXN],iter[MAXN];
int edge_num;
int depth[MAXN];
void addedge(int x,int y,LL val){
edge[++edge_num].next=head[x];
edge[edge_num].to=y;
edge[edge_num].val=val;
head[x]=edge_num;
}
void link(int x,int y,LL val){
addedge(x,y,val);
addedge(y,x,0);
}
void Clean_Edge(){
memset(head,0,sizeof(head));
edge_num=1;
}
bool BFS(int s,int t){
static queue<int> que;
que.push(s);
memset(depth,-1,sizeof(depth));
depth[s]=1;
while(!que.empty()){
int fro=que.front();que.pop();
for(int i=head[fro];i;i=edge[i].next){
if(edge[i].val>0 && depth[edge[i].to]==-1){
depth[edge[i].to]=depth[fro]+1;
que.push(edge[i].to);
}
}
}
return depth[t]!=-1;
}
LL DFS(int x,int goal,LL val){
if(x==goal){
return val;
}
for(int &i=iter[x];i;i=edge[i].next){
if(edge[i].val>0 && depth[edge[i].to]==depth[x]+1){
LL tmp=DFS(edge[i].to,goal,min(val,edge[i].val));
if(tmp>0){
edge[i].val-=tmp;
edge[i^1].val+=tmp;
return tmp;
}
}
}
return 0;
}
LL Dinic(int s,int t){
LL re=0;
while(BFS(s,t)){
memcpy(iter,head,sizeof(head));
while(true){
LL tmp=DFS(s,t,INF);
if(tmp==0)break;
re+=tmp;
}
}
return re;
}
int main(){
/*solution:blog.csdn.net/u011056504/article/details/78997980*/
freopen("variable.in","r",stdin);
freopen("variable.out","w",stdout);
int kase;
scanf("%d",&kase);
while(kase--){
scanf("%d%d%d%d",&n,&W,&p,&q);
S=0;T=n+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
val[i]=0;
Clean_Edge();
for(int i=1;i<=p;i++){
int x,y,z,a,b,c,d,e,f;
scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d%d",&x,&y,&z,&a,&b,&c,&d,&e,&f);
link(x,y,2*a);link(y,x,2*a);
link(y,z,2*b);link(z,y,2*b);
link(x,z,2*c);link(z,x,2*c);
val[x]+=d-f;
val[y]+=e-d;
val[z]+=f-e;
}
for(int i=1;i<=q;i++){
int x,y,r;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&r);
if(r==0)
link(x,y,INF);
if(r==1){
link(x,y,INF);
link(y,x,INF);
}
if(r==2){
link(x,T,INF);
link(S,y,INF);
}
}
LL ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
link(S,i,-val[i]-1+OFFSET);
link(i,T,val[i]+1+OFFSET);
}
ans=Dinic(S,T);
printf("%lld\n",(ans-n*OFFSET)*W);
}
return 0;
}
//另一种方法
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 1e9
#define L long long
using namespace std;
const int MaxV = 510, MaxE = 20010;
namespace dinic{
struct edge{
int to, nxt, cap;
}e[MaxE]; int cnt = 1, lst[MaxV];
void ins(int a, int b, int c){ e[++cnt] = (edge){b, lst[a], c}; lst[a] = cnt;}
void lnk(int a, int b, int c){ ins(a, b, c); ins(b, a, 0);}
int h[MaxV]; queue<int>q;
bool bfs(int s, int t){
memset(h, -1, sizeof(h));
h[s] = 0; q.push(s);
while(!q.empty()){
int c = q.front(); q.pop();
for(int i=lst[c], b; b = e[i].to, i; i = e[i].nxt){
if(!~h[b] && e[i].cap > 0){
h[b] = h[c] + 1;
q.push(b);
}
}
}
return ~h[t];
}
int dfs(int v, int t, int f){
if(v == t) return f;
int used = 0, w;
for(int i = lst[v], b; b = e[i].to, i; i = e[i].nxt)
if(h[b] > h[v] && e[i].cap > 0){
w = dfs(b, t, min(f - used, e[i].cap));
e[i].cap -= w; e[i ^ 1].cap += w;
if((used += w) == f) return f;
}
if(!used) h[v] = -1;
return used;
}
int max_flow(int s, int t){
int ans = 0;
while(bfs(s, t))
{
int k=dfs(s, t, 1e9);
if(k>1e8)
return -1;
ans += k;
}
return ans;
}
void clear()
{
memset(lst, 0, sizeof(lst)), cnt = 1;
}
}
using dinic::lnk;
using dinic::max_flow;
using dinic::clear;
int t,n,m,p,q,x,y,z,a,b,c,d,e,f,u[510],ans;
int main()
{
freopen("variable.in","r",stdin);
//freopen("variable.out","w",stdout);
int i;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
for(i=1;i<=n;i++)
u[i]=1;
for(i=1;i<=p;i++)
{
scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d%d",&x,&y,&z,&a,&b,&c,&d,&e,&f);
lnk(x,y,2*a);
lnk(y,x,2*a);
lnk(y,z,2*b);
lnk(z,y,2*b);
lnk(x,z,2*c);
lnk(z,x,2*c);
u[x]+=d-f;
u[y]+=e-d;
u[z]+=f-e;
}
for(i=1;i<=q;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
if(z==1)
{
lnk(x,y,inf);
lnk(y,x,inf);
}
else if(z==2)
{
lnk(x,n+1,inf);
lnk(0,y,inf);
}
else
lnk(x,y,inf);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
ans-=abs(u[i]);
if(u[i]>0)
lnk(i,n+1,2*u[i]);
else if(u[i]<0)
lnk(0,i,-2*u[i]);
}
for(int i=2;i<=dinic::cnt;i++)
printf("%d %d\n",dinic::e[i].to,dinic::e[i].cap);
ans+=max_flow(0,n+1);
printf("%lld\n",(L)ans*m);
ans=0;
clear();
}
return 0;
}
