2022桂林G. Group Homework

1|0题目描述

给出一棵树，n 个点 ， n-1 条边。点有点权，让你给出树上的两条路径，使得两条路径的不相交的所有的点的点权和最大。

2|0思路

手玩可以得到，一个比较明显的结论就是：相交的点至多为 1。

那么就可以分成两种情况。

1、有一个点相交的情况，这种情况可以看做由根节点发出的 4 条链，可以换根 dp 做。换根 dp 维护由 点 u 发出的所有的链 $chain(u)$ ，然后按照链的长度排序，取前 4 个即可。

2、没有点相交的情况。此种情况可以看做选择一条边断开之后，分成了两棵树，在两棵树中找到带边权的直径。此种情况换根 dp 不好做，于是借鉴了网上的方法。

记 $F(u, v)$ 表示在以 u 为根的树中，钦定删去临界点 v 的子树之后树的直径，那么答案为：

$max_{(u,v) \in T} F(u, v) + F(v, u)$

然后考虑如何处理 F。

不妨对于 $F(u,v)$，钦定 v 为 u 的父节点，考虑记忆化搜索。首先根据第一种情况预处理的 $chain⁡(u)$，从中找出不以 v 为端点的最长和次长链更新经过该节点的路径的贡献，然后枚举其子节点考虑其子树中路径的贡献即可。

3|0code

#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 200010
#define mp make_pair

using namespace std;
int n, m, add_edge, ans;
int head[N], a[N];
vector<pair<int, int> > max1[N];
map<int, int> ma[N];
struct node {
  int next, to;
}edge[N << 1];

void add(int from, int to) {
  edge[++add_edge].next = head[from];
  edge[add_edge].to = to;
  head[from] = add_edge;
}

void dfs(int x, int fa) {
  for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
    int to = edge[i].to;
    if (to == fa) continue;
    dfs(to, x);
    max1[x].push_back(mp(a[to], to));
    if (!max1[to].empty()) max1[x].back().first += max1[to][0].first;
  }
  sort(max1[x].begin(), max1[x].end(), greater< pair<int, int> >());
}

void dfs2(int x, int fa, int dis) {
  if (fa) {
    max1[x].push_back(mp(dis, fa));
    sort(max1[x].begin(), max1[x].end(), greater <pair <int, int> >());
  }
  while (max1[x].size() < 4) max1[x].push_back(mp(0, 0)); 
 
  for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
    int to = edge[i].to;
    if (to == fa) continue;
    if (to != max1[x][0].second) dfs2(to, x, max1[x][0].first + a[x]);
    else dfs2(to, x, max1[x][1].first + a[x]);
  }
}

int F(int x, int fa) {
  if (ma[x].count(fa)) return ma[x][fa];
  int p1 = 0;
  while (max1[x][p1].second == fa) p1++;
  int p2 = p1 + 1;
  while (max1[x][p2].second == fa) p2++;
  int ret = max1[x][p1].first + max1[x][p2].first + a[x];
  for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
    int to = edge[i].to;
    if (to == fa) continue;
    ret = max(ret, F(to, x));
  } 
  ma[x][fa] = ret;
  return ret;
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
  for (int i = 1, x, y; i < n; i++) {
    scanf("%d%d", &x, &y);
    add(x, y), add(y, x);
  }
  dfs(1, 0), dfs2(1, 0, 0);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int sum = 0;
    for (int j = 0; j < 4; j++)
      sum += max1[i][j].first;
    ans = max(ans, sum);
  }
  for (int x = 1; x <= n; x++)
    for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
      ans = max(ans, F(x, edge[i].to) + F(edge[i].to, x));
    }
  printf("%lld\n", ans);
}

__EOF__

本文作者：Kersen
本文链接：https://www.cnblogs.com/zzz-hhh/p/18130232.html
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