链接

你们应该进不去的传送门

Description

小王来到了一片森林，森林中有一些树和连接两棵树的无向道路，保证这些道路能把森林连通。

​ 小王对这片森林做了一些考察，有了两个奇怪的发现：

​ 1）森林中的树总共分为两种，不妨记为 0 型树和 1 型树。

​ 2）这些道路的长度都是 2 的整数次幂且互不相同，第 i 条道路的长度为 \(2_i\)。

​ 小王又发现了这片森林的一个神奇之处，任何两棵类型不同的树之间都可以构成一组链接，这一对链接的能量值为两棵树之间的最短路。

​ 好奇的小王想知道这片森林所有链接的能量值之和，请你来帮帮他。

思路

因为每一条边的边权是\(2^i\)因为\(\sum_{i=0}^{n-1}2^i = 2^n-1\)看看二进制就明白了

然后我们可以发现如果两个点已经联通了，如果再加一条边，那条边的权值一定比最短路长，所以可以直接跑\(kruskal\)求生成树，然后在生成树上稿下边的操作。

因为我们已经有了生成树了，所以可以直接树形\(DP\)（换根可以做），我们可以直接把\(1\)结点点权看做\(0\)，然后将点权和\(1\)相同的看成\(0\)，不同的看成\(1\)，然后我们设\(siz_x\)为以\(1\)位根节点时\(x\)的子树上有多少点权为\(1\)的点，\(dp_x\)为结点\(x\)到所有点权为\(1\)的点的权值。

我们第一遍\(dfs\)求出\(siz\)和\(dp1\)，然后考虑如何转移到别的结点上，对于\(x\)的子节点\(to\)我们可以发现，\(dp_{to}=dp_x+(k-2*siz_{to})*dis\)

code

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define M 1010
#define int long long

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m, add_edge, fath[N], cnt, dit[N], point;
int siz[N], ye[N], head[N << 1], dp[N];
struct node {
  int next, to, dis;
} edge[N << 1];

int read() {
  int s = 0, f = 0; char ch = getchar();
  while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
  while (isdigit(ch)) s = s * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
  return f ? -s : s;
}
void add(int from, int to, int dis) {
  edge[++add_edge].next = head[from];
  edge[add_edge].to = to;
  edge[add_edge].dis = dis;
  head[from] = add_edge;
}
int father(int a) {
  if (fath[a] != a) fath[a] = father(fath[a]);
  return fath[a];
}
int q_pow(int a, int b) {
  int ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) ans = (ans * a) % mod;
    a = (a * a) % mod;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}
void dfs(int x, int fa) {
  for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
    int to = edge[i].to;
    if (to == fa) continue;
    dit[to] = (dit[x] + edge[i].dis) % mod;
    dfs(to, x), siz[x] += siz[to];
  }
}
void dfs2(int x, int fa) {
  for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
    int to = edge[i].to;
    if (to == fa) continue;
    int jia = ((point - siz[to]) % mod + mod) % mod, jian = (siz[to] * edge[i].dis) % mod;
    jia = (jia * edge[i].dis) % mod;
    dp[to] = ((dp[x] + jia - jian) % mod + mod) % mod;
    dfs2(to, x);
  }
}

signed main() {
  n = read(), m = read();
  ye[1] = read();
  int sy = 0;
  if (ye[1] == 1) sy = 1, ye[1] ^= 1;
  for (int i = 2, x; i <= n; i++) {
    x = read();
    if (sy) ye[i] = (x ^ 1);
    else ye[i] = x;
    siz[i] = ye[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) fath[i] = i;
  for (int i = 1, x, y; i <= m; i++) {
    x = read(), y = read();
    int fx = father(x), fy = father(y), d = q_pow(2, i);
    if (fx != fy) {
      fath[fx] = fy, cnt++;
      add(x, y, d), add(y, x, d);
    }
    if (cnt == n - 1) break;
  }
  dfs(1, 1), point = siz[1];
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (ye[i] == 1) dp[1] = (dp[1] + dit[i]) % mod;
  dfs2(1, 1);
  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (ye[i] == 0) ans = (ans + dp[i]) % mod;
  cout << ans;
  return 0;
}