关于线段树的那些奇技淫巧

目录对你说：我在右边
如果你不会线段树，戳这里

维护区间max/min值:

这就是push_up()浅显易懂.

void push_up(int rt) {
	tree[rt].max = max(tree[lson].max, tree[rson].max);
	tree[rt].min = min(tree[lson].min, tree[rson].min);
}

建树的时候就那样建，push_down的时候看一下max和min都改成lazy就行了.
有的时候用不到push_down();

query

也很好懂，和求区间和差不多.
有修改操作的时候可以加上pushd_down();

int query_max(int rt, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return tree[rt].max;
	int mid = (l + r) >> 1, maxn = -1;
	if (L <= mid) maxn = max(maxn, query_max(lson, l, mid, L, R));
	if (R > mid) maxn = max(maxn, query_max(rson, mid + 1, r, L, R));
	return maxn;
}

维护区间和+区间开平方.

这是个好题
强烈推荐GSS毒瘤数据结构，在洛谷可以搜到，做完之后会感觉自己的思维得到了升华.
A一题提神醒脑，A俩题永不疲劳，A仨题长生不老
因为一个大整数\(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{n}}}}}} = 1\)我们可以用lazy判断一下这个区间开了几次，如果大于等于6的话就没必要搞了（然而我没写）
而且开方的时候判断一下区间的最大值是不是1，如果区间的最大值都是1了，那么其他的必然也是1，就没有必要在开方了.

关于更新:

void update(int L, int R, int l, int r, int rt) {
    if (l == r) {
        t[rt].sum = sqrt(t[rt].sum);
        t[rt].mx = sqrt(t[rt].mx);
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    if (L <= m && t[lson].mx > 1) update(L, R, l, m, lson);
    if (R > m && t[rson].mx > 1) update(L, R, m + 1, r, rson);
    pushup(rt);
}

查询就不用说的吧，和区间求最大值一样啊。

区间最大子段和.

好题 可以说是裸题.
难点在于push_up和query

push_up

void push_up(int rt) {
	tree[rt].sum = tree[lson].sum + tree[rson].sum;//这就是普通的区间和
	
	tree[rt].qian = max(tree[lson].qian, tree[lson].sum + tree[rson].qian);
	tree[rt].hou = max(tree[rson].hou, tree[rson].sum + tree[lson].hou);
	//区间的前缀和的最大值就是左区间的前缀和和（右区间的全缀合加上左区间的和）取max
	//区间后缀和类比可得
	tree[rt].zi = max(tree[lson].zi, tree[rson].zi);
	tree[rt].zi = max(tree[rt].zi, tree[lson].hou + tree[rson].qian);
	//最大子段和就是左右区间最大子段和，还有左区间后缀和加上右区间前缀和取max
}

关于query:

node unioc(node a, node b) {
	node ans;//区间合并可类比push_up
	ans.sum = a.sum + b.sum;
	ans.zi = max(a.zi, b.zi);
	ans.zi = max(a.hou + b.qian, ans.zi);
	ans.qian = max(a.qian, a.sum + b.qian);
	ans.hou = max(b.hou, b.sum + a.hou);
	return ans;
}

node query(int rt, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return tree[rt];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L > mid) return query(rson, mid + 1, r, L, R);//如果这个区间都在右边，直接在右边算就行
	if (R <= mid) return query(lson, l, mid, L, R);//争端区间都在左边
	return unioc(query(lson, l, mid, L, R), query(rson, mid + 1, r, L, R));//如果两端都有那么还要合并区间.
}

加上区间修改就变成了这个题
也挺简单的，只要你会了上边那个.
区间修改也挺简单的.通俗易懂。

void change(int rt, int c, int l, int r, int pos) {
	if (l == r) {
		tree[rt].sum = tree[rt].ls = tree[rt].rs = tree[rt].mis = c;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (pos <= mid) change(lson, c, l, mid, pos);
	if (pos > mid) change(rson, c, mid + 1, r, pos);
	push_up(rt);
}

维护区间gcd

我们都知道\(gcd(a, b) = gcd(b, a-b)\)(更相减损术)
我们将上述式子扩展到3项我们就会发现
\(gcd(a,b,c)=gcd(b,b−a,c−b)\)
很明显这就是一个差分数组
我们只需要开一棵线段树来维护差分数组gcd
但是我们发现最前边的这个b我们维护的是当前这个点的差分值
所以这就说明我们还需要开一个东西来维护每一个点的值
而且还要支持区间修改（树状数组是一个好东西）

关于push_up

其实和求区间最大值差不多

void push_up(int rt) {
	tree[rt].gcd = abs(gcd(tree[lson].gcd, tree[rson].gcd));
}

关于查询

我们需要查询一个最前边的值的大小，还有剩下的值的gcd
然后两者求一个gcd

ll query(int rt, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return tree[rt].gcd;
	int mid = (l + r) >> 1;ll g = 0;
	if (L <= mid) g = abs(gcd(g, query(lson, l, mid, L, R)));
	if (R > mid) g = abs(gcd(g, query(rson, mid + 1, r, L, R)));
	return g;
}
ll ask(int b) { 
      ll ans = 0; 
      while (b) 
            ans += t[b], b -= lowbit(b); 
      return ans; 
}

x = read(), y = read();
ll ans = query(1, 1, n + 1, x + 1, y);
printf("%lld\n", abs(gcd(ans, ask(x))));

总结（思考方向）:

以后做线段树的时候考虑怎么上传，怎么下放，区间查询的时候需不需要合并.
合并的时候需要注意什么问题.

【未完待续】