基于FDTD平行硅微纳波导的倏逝耦合特性仿真

软件：FDTD Solution、MODE Solution、Origin

制作人：梦想小猪

制作时间：2021年12月9日

参考文献

[1] Huang K, Yang S, Tong L. Modeling of evanescent coupling between two parallel optical nanowires[J]. Applied optics, 2007, 46(9): 1429-1434.

[2] Xin C, Zhang Z, Wang X, et al. Ultracompact single-layer optical MEMS accelerometer based on evanescent coupling through silicon nanowaveguides[J]. Scientific Reports, 2022, 12(1): 21697.

一、原理与应用

1.平行微纳波导的倏逝场

在研究两根平行微纳波导的倏逝场分布情况前，先研究单根纳米线的功率分布情况：

通常而言，当波导直径接近或小于光源的波长时，微纳波导由于与包层（真空、SiO2等低折射率的介质或衬底）形成较大的折射率差，故具有紧密光学约束、高占比倏逝场等特性。本案例使用硅材料纳米线，由硅的带隙（参见半导体物理知识）可知，1000nm以下的波长光对于硅材料是被强吸收的（可以理解为是不透明的），1000nm以上的波长光对于硅材料认为是透明的。

图1(a)至(c)分别表示直径为800、400和200nm的Si纳米线中基模的功率分布。很明显，直径为800nm的纳米线束缚了光纤内部的主要能量，直径为200nm的纳米线则留下大量的光场作为倏逝波沿光纤传播。

图1 (a)-(c)分别表示直径为800nm、400nm、200nm的Si纳米线中基模的功率分布

在说明了单根纳米线的功率分布情况后，现研究两根平行纳米线组成的复合波导的情况。在两根平行纳米线组成的复合波导系统中，当平行纳米线的间距较大时，纳米线间的相互作用减弱，它们之间的耦合特性趋于弱波导耦合，可以用微扰理论说明。若对第一根纳米线进行激励，则两根纳米线的功率分布函数分别为：P1(z)=cos²(Cz)，P2(z)=sin²(Cz)；其中C是弱波导的耦合系数，z是轴向坐标，第一个公式是受到光源激励的纳米线的功率分布表达式，有P1(0)=1，P2(0)=0。从公式可以看出，在由平行纳米线组成的复合波导中，光功率守恒，轴向总功率为1，只是随着不同的重叠长度，在两根纳米线之间进行周期性、正弦振荡分配。

2.仿真应用

本案例就上述平行微纳波导倏逝耦合特性，研究两根波导的重叠长度和间距（单一变量）分别对耦合效率的影响。此规律可应用于微位移检测、惯组设计等领域。

二、问题描述

名词解释：耦合效率，该定义源于光纤通信，定义为波导中的光功率与光源功率之比。

对微纳波导截面尺寸的说明：理论研究中常常将微纳波导认为是均匀光滑的圆柱体，而实际中，SiO2波导的截面是圆形，硅波导的截面是矩形，CdTe纳米线的截面是正六边形，认识不同材料截面的不同形状，有利于精确建立仿真模型。

1.研究问题

（1）常用硅片厚度为220nm，即已知该硅微波导的高度，如何设计硅微波导的宽度使得由2根平行微纳波导组成的复合波导产生周期性光强分布？

（2）确定了硅波导尺寸后，在固定硅波导间隙的前提下，研究波导的重叠长度对耦合效率的影响。

（3）固定硅波导的重叠长度的前提下，研究波导的间距对耦合效率的影响。

2.已知参数

（1）光源波长：1550nm；

（2）衬底：SiO2材料，厚3μm；

（3）微纳波导:Si材料，厚220nm。

3.解决思路

（1）常用硅片厚度为220nm，即已知该硅微波导的高度，间距100nm，分别研究280nm、290nm、300nm、310nm、320nm宽度的复合硅波导产生周期性光强分布。

（2）研究间距H固定为50nm、100nm、150nm、200nm、250nm时，耦合效率随重叠长度的变化。

（3）由（2）得出达到最大耦合效率的最小重叠长度L_T，并固定此重叠长度，扫描间距对耦合效率的影响。

三、操作流程

1.Si纳米线的截面宽度对耦合效率的影响

（1）新建一个工程

双击Lumerical 2020 R2.4→欢迎截面Products-New下拉→选择FDTD

进入FDTD仿真页面，就是新建的工程，养成好习惯在一开始就保存好文件。

Ctrl+S→保存工程到指定文件夹

（2）检查模型材料

有的材料是材料库中没有的，需要添加。本案例中使用的材料有Si和SiO2，都是在材料库中有的，故这一步骤省略。

（3）建立结构模型

下拉Structures选择需要的几何结构。

选择Rectangle，在树状栏中就形成了一个默认几何结构，我们需要编辑它，得到我们需要的材料结构。选中树状栏中的Rectangle，右击Edit

出现编辑窗口，我们首先建立SiO2衬底，改名为substrate。几何与材料选项按照下图设置。

点击OK，完成设置。

同样建立2根输入和输出硅波导，均宽280nm，间距100nm，间距只是改变尺寸，换材料。

完成后的3D图如下图所示。

（4）添加光源

下拉Sources选择所需光源。

其中光源种类有“Dipole”偶极子光源、“Gaussian”高斯光源、“Plane wave”平面波光源等光源，波导仿真中一般使用Mode光源。光源的面积尺寸和硅波导截面一致，这样的设置有利于减小监视器内噪声的输入。

（5）设置边界条件

边界条件分为Region和Mesh两种设置，Region是仿真区域，Mesh是细化网格，用于更高精度的覆盖仿真。

首先按照下图顺序设置Region。

有以下几条值得注意的设置：

①General-simulation time(fs)仿真时间

对光学波段，使用缺省的1000飞秒就可以。对于太赫兹或者微波，需要适当加长，本案例中使用的光源1550nm大概是190THz，故一般设置为10000fs，才能使得仿真通过达到事先设定的Autoshutoff 结束仿真。（一般来说，仿真区内的等效强度下降到1e-05，宽谱的傅立叶变换绝大多数情况下就是正确的，因此1e-05是Auto shut off min的缺省值。Auto shut off min＝1e-05 是多波长的平均值。）

这里补充一个问题：如何知道仿真前的仿真时间足够长呢？或者说我们怎么知道仿真时间设置为10000fs是正确的呢？

我们可以看两个地方。在仿真前查看光源的频谱分布是否正常，正常的频谱分布基本呈高斯型；查看光源的脉冲是否正常，正常的脉冲后面还有很长一段时间。由下图可知，本案例中的仿真时间设置合理。

②Boundary conditions 边界条件设置

PML吸收边界条件，顾名思义，光到达PML边界就会被吸收。仿真结果是否正确，仿真结果是否收敛与PML边界的几何设置有一定的关系。在本案例中使用压住两根波导的设置结构。并且一般而言，PML距离材料至少半波长的距离。

对于其他边界条件，比如periodic常用于光栅等周期性结构，用到再查询用法即可。

在微小的结构或距离之间设置细化网格mesh。选择Simulation-mesh，右击mesh编辑细化的网格大小和细化空间的几何结构，具体参数如下。

（6）细化网格

像本案例中间距较小的两根纳米线，可以整体看作是一个槽型波导，这种波导的特点就是，光强集中在两根纳米线夹住的槽中间，故为了清楚地看清两根波导中间的光强分布，在两根波导重叠的中间位置设置细化网格，具体参数如图所示。

为了查看细化网格的效果，我们点击靠左工具栏的“view simulation mesh”如图所示。分别disable和enable“mesh”，也就是没有细化网格和细化网格的差别，如图所示，以xy平面为例，可以看到当如我们设置的一个网格宽度dx=0.02μm时候，间距100nm的槽被划分成了5个网格，精度更高。在划分网格的时候应注意，网格的边界应当与结构边界重合。

（7）设置探测器

其中，监视器种类有“Refractive index”折射率监视器即探测所建模型折射率、“Field time”时间监视器即探测该点每隔一段时间的电磁场的值、“Movie”电影监视器即可以视频形式观看光线传播路径、“Frequency-domain field profile”频域监视器即探测一定频带宽度下的频率响应、“Frequency-domain field and power”频域与功率监视器即探测电磁场能流等。我们仿真光栅时一般使用“Frequency-domain field and power”监视器。

本案例将观察光强分布情况和透射率，故选择“Frequency-domain field and power”。如下图设置光源的几何尺寸。

注意，FDTD的探测器是归一化光强图样显示，故为了能看到更明显的光强分布，一定要把探测器的Ymin设置得比光源的Y值大，将光源排除在外。

（8）仿真检查

当一切模型及其参数设置完成后，为防止某些参数设置不当造成对仿真计算速度的较大影响，我们在仿真前需要对仿真过程进行检查。通常我们使用工具栏中“check”指令。

其中，“Material Explorer”为材料拟合检查，通常为检查FDTD库中的材料参数与实际材料参数的契合程度。点击界面中“Fit and plot”，我们可以看到FDTD中材料与实际材料参数的对比。

另外，“Check simulation and memory requirements”为检查仿真所需内存以及仿真各项参数。

可以看到“Appreimate total memory requirements to avoid swapping during the simulation”中四部分占用内存均较少。其中，“Initialization and mesh”为仿真区域精度与细化网格所占内存，“Running simulation”为仿真区域大小所占内存，“Data collection”为监视器中需要计算的参数所占内存， “Monitor data saved to fsp file”为监视器所占内存。通常，在我们的工作站上，仿真内存占用在5G以下的都可进行仿真。

（9）仿真运行

单击Run，运行仿真。

一般的仿真，我们都建议用户的设置使得仿真在满足auto shut off min （或max）后自动结束，而不是仿真到指定的仿真时间。此时在大多数情况下可以保证精度，结果可靠。具体的百分比，可以在P0.log.text里面查看。

文本中看两处，以验证结果和精度的可靠性：100%完成时，满足Auto Shutoff<1e-05；“Early termination of simulation, the autoshutoff criteria are satisfied.”。

结果分析

图2 (a)-(e)分别表示Si纳米线截面宽度为280nm、290nm、300nm、310nm、320nm时，相同Si纳米线的耦合图样

由图2可以看出当Si纳米线的截面宽度为300nm以上时，两平行纳米线之间的光强呈均匀往复、具有周期性的分布，耦合图样理想，较300nm以下的截面宽度更有利于后续研究纳米线之间的间距和重叠长度对耦合效率的影响。由图2(c)至(e)可以看出，随着Si纳米线截面宽度的增大，耦合周期变大，耦合效率随相对位移的变化较缓，光学灵敏度降低，不利于微位移检测。综上，我们将Si纳米线的截面宽度设计为300nm。

2.重叠长度L对耦合效率的影响

Si纳米线初始设计为：光源波长为1550nm，两根平行Si纳米线的截面均高220nm宽300nm，研究间距H分别为50nm、100nm、150nm、200nm、250nm时，耦合效率随重叠长度的变化。

本案例现以间距H=100nm为例，继续仿真。如下图所示，将输入和输出硅波导改为截面220nm×300nm的矩形。

从Check simulation and memory requirements中可以看出，监视器也是要占用存储器空间的，故我们去掉仿真“1”中的z轴探测器。右击monitor选择disable，这样就能去掉暂时不用的结构。

根据耦合效率的定义，为了计算耦合效率，在平行波导重叠部分的输入端和输出端设置y轴平面监视器，两个探测器的透射率T之比就是耦合效率。两个探测器的设置如下图所示。输入端的探测器靠近光源。

由于此处研究的是重叠长度L对耦合效率的影响，当要研究一个（或多个）应变量随一个（或多个）自变量的变化函数时，我们采用FDTD的优化和扫描功能“optimizations and sweeps”。点击窗口的，就能新建一个参数扫描。如图所示。

点击之后就在列表中生成了一个扫描任务，如图所示，右击该任务，点击Edit编辑。

弹出扫描设置窗口

现在我们介绍这个窗口中的设置内容，设置内容分为2个部分，上边Parameters部分是自变量参数的设置，下边白框Results是因变量的参数设置。点击Add可以增加变量，number of points 是采样的点数。

本例中，研究两根纳米线重叠长度从0到6μm变化对耦合效率的影响，故在自变量中设置被扫描的参数是输出波导的ymin值，从10到4μm（对应重叠长度从0到6μm）扫描，注意type选择length单位为μm。因变量中增加两个变量，分别是输入和输出端探测器的透射率T值，分别命名为Tin和Tout，设置完成后点击OK。

重新回到图任务栏界面，右击扫描任务，点击Run，运行扫描。扫描运行中会弹出两个运行界面。

图是总进度显示界面，图是每个参数单独的扫描进度，其中最下面的进度条是总进度。

扫描运行完毕后，进行数据的导出与处理，这时我们要用到Origin软件处理数据，并绘制耦合效率随重叠长度的变化函数图，以便观察规律。

2.1用Origin软件处理数据

扫描运行完毕，回到任务栏界面，这时图标的右下角会有一个“田字”图样，说明扫描运行完毕。如图所示，右击sweep→选择Visualize→选择Tin或Tout，查看扫描结果。

如图所示，弹出扫描结果显示框，点击最上方的文本导出图标“T”，将结果的文本文件导出到目标文件夹。

分别命名为Tin和Tout，保存好文件。

双击软件Origin，显示的界面就意味着已经建立了一个工程，我们直接进行文件导入即可。如图所示，点击左上角“文件”→选择“导入”→选择多个“多个ASCLL文件”→选择我们刚刚保存的2个文本文件Tin和Tout。如图所示，选择确定。

这时，两组数据分别形成两个工作簿，由于横坐标都是一样的，现将Tout栏数据和Tin栏数据合并，形成3列数据。

选中Tout列数据，数据列变成深蓝色→Ctrl+C，复制

返回Tin工作簿→右击空白处，选择“添加新列”

选中生成的新列，变成深蓝色→Ctrl+V，粘贴。

合并了Tin和Tout数据在一个工作薄下后，再新建一列，计算耦合效率。

选中新列，右击选择设置列值

在跳出的设置值窗口中输入计算函数，耦合效率是Tout与Tin之比，故在输入框内输出Col(C)/Col(B)，点击确定，则自动计算出了随重叠长度变化的耦合效率。

选择菜单栏中的“绘图”→选择点线图

系统就自动生成了函数图像。

此处不妨补充如何利用软件Origin进行线性拟合分析的操作方法。

2.2用Origin进行线性拟合分析

线性拟合是在绘图之后的操作。

选择菜单栏中的“分析”→选择“拟合”→选择“线性拟合”→选择“打开对话框”。

弹出线性拟合对话框，点击“从图中选择范围的图标”如图所示，

在已经绘制的函数图中选取肉眼看上去线性度不错的函数区域，选中后点击右边的图标确定，如图所示。

软件会自动生成拟合报告。

结果分析

Si纳米线初始设计为：光源波长为1550nm，两根平行Si纳米线的截面均高220nm宽300nm，研究间距H分别为50nm、100nm、150nm、200nm、250nm时，耦合效率随重叠长度的变化，如图8所示。

图8 (a)-(e)分别表示两根平行Si纳米线之间的间距H为50nm、100nm、150nm、200nm、250nm时，耦合效率随重叠长度变化的函数关系

当平行纳米线之间的间距为定值时，重叠长度L与耦合效率具有正弦振荡的函数关系。随着间距增大，耦合周期变大，周期数减小，光学灵敏度减小。

2.3用MODE Solution确定探测器面积

在（7）中我们没有详细说明探测器尺寸的设计，实际上探测器面积设置的大小对仿真结果有很大影响。如果探测器面积太大，会引入较大的噪声，若探测面积太小则不能真实地反映数据。

故我们通过MODE分析，当波导输出90%~95%能量的时候，探测器尺寸的设置。

结构模型的构建和FDTD一样，我们建立一个SiO2衬底，一个硅波导，一个仿真边界。具体设置如下图所示。

（1）substrate

（2）220-300（截面220nm×300nm的硅波导）

（3）FDE（仿真边界）

设置完成后，点击运行Run，会弹出空白的分析窗口，如图所示。

如图设置参数，点击“Calculate Modes”。运算结果如下图所示。模式列表中，给出了该结构中所有可能存在模式的等效折射率、传输损耗、TE/TM分量占比（传输光按照偏振方向，可以分为TM、TE分量。TE/TM占比表征了该模式的偏振情况）。所有模式按照等效折射率降序排列。其中，等效折射率越高，说明更多的能量被束缚在波导内。等效折射率最高的模式，被称为基模，我们只研究基模。