【bzoj1787】[Ahoi2008]Meet 紧急集合
Description
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Input
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Output
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Sample Input
1 2
2 3
2 4
4 5
5 6
4 5 6
6 3 1
2 4 4
6 6 6
Sample Input
2 5
4 1
6 0
HINT
【解析】
三个点两两的lca一共有3个,其中两个一样的,那个不一样的就是集合点。
为什么是那个点呢???求助~
然后求三个点到集合点的距离。
今晚徐老大给我讲为什么那个点最优了,自己整理一下加深理解。
首先需要集合的三个点是x1,x2,x3,两两的lca为lca1,lca2,其中有两对重着,所以三个点两两求lca有两个。
我们可以得出几个结论:
(1)树上三个点两两求lca,所求的三个lca中两个是相同的。
(2)需要集合的点到他们三个lca中不同的那个lca集合最优。
首先我们先证明一下 三个点到他们lca集合路径会最优(你先别管是哪个lca,反正是lca就对了)。
对于上图我们发现,走红色路径一定比不是红色路径的路径优。
①假设我们到结点编号为1的点集合,当集合点(也就是目前的编号为1的那个点)向靠近他们lca的方向移动时,(假设移向他爸爸,正好是lca1),那么跟之前的路径相比,
x2,x3比之前的路径长度各-1,x1比之前的路径长+1,两个点路径长-1,一个点路径长+1,显然与之前相比,向lca的方向移动,结果更优。
②假设集合点在结点4时,我们往靠近lca的方向移动,假设到结点3,发现x1,x2,x3的路径与原来相比-1,显然更能说明集合点往lca方向移动更优。
③假设x3在结点6,(这种情况是x1,x2,x3都在lca的子树中,说明三个点的两两lca相同),假设此时集合点为结点1,我们向靠近lca的方向移动,到lca1,此时
x2,x3的路径长-1,(注意此时x3已经在结点6了),x1的路径长+1,显然比集合点改变之前更优。
综上所述我们发现集合点在他们的lca路径最优。
反正三个点两两lca只有3个我们枚举一下在哪个lca时路径最优即可。
对于结论(2),两个相同的lca一定在不同的那个lca上面,也就是两个相同的lca比不同的那个lca深度浅。
为什么呢?因为一个点到它lca的路径是唯一的。(仍是原图中标号的x1,x2,x3),lca1是x1,x2的lca,lca2是x2,x3的lca。
如果从x1向上冲,一定要先冲破他自己的lca1在冲向lca2,又因为lca1的深度深,相对于lca2少跑一层,所以在lca1最优,或者是
自己像刚才证明那样证明一下。
【代码】
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define N 500003 int sumedge,n,m,x,y,A,B,C,D,a,b,c,d,L; int head[N],size[N],deep[N],dis[N],dad[N],top[N]; struct Edge { int x,y,next; Edge(int x=0,int y=0,int next=0):x(x),y(y),next(next){} }edge[N<<1]; inline int read()//读入优化 { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } inline void add_edge(int x,int y)//加边 { edge[++sumedge]=Edge(x,y,head[x]); head[x]=sumedge; } inline void dfs(int x)//树剖求lca { size[x]=1; deep[x]=deep[dad[x]]+1; for(int i=head[x];i;i=edge[i].next) { if(dad[x]!=edge[i].y) { dad[edge[i].y]=x; dis[edge[i].y]=dis[x]+1; dfs(edge[i].y); size[x]+=size[edge[i].y]; } } } inline void dfs1(int x)//树剖求lca { int s=0; if(!top[x])top[x]=x; for(int i=head[x];i;i=edge[i].next) { if(dad[x]!=edge[i].y&&size[edge[i].y]>size[s]) { s=edge[i].y; } } if(s) { top[s]=top[x]; dfs1(s); } for(int i=head[x];i;i=edge[i].next) { if(dad[x]!=edge[i].y&&edge[i].y!=s) dfs1(edge[i].y); } } inline int lca(int x,int y)//树剖求Lca { for(;top[x]!=top[y];) { if(deep[top[x]]>deep[top[y]]) swap(x,y); y=dad[top[y]]; } if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); return x; } inline int l(int x,int y)//树上两点之间的最短路径 两个点到跟的路径长度减去两倍的lca到根的长度。 { return dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)]; } int main() { n=read();m=read();//n个点 m个询问 for(int i=1;i<n;i++) { x=read();y=read(); add_edge(x,y);//加边 add_edge(y,x); } dfs(1);//树剖求lca的dfs dfs1(1); for(int i=1;i<=m;i++) { a=read();b=read();c=read(); A=lca(a,b);B=lca(a,c);C=lca(b,c); D=A^B^C;//三个lca中有两个相同的 D是那个不同的 L=l(a,D)+l(b,D)+l(c,D);//三点到D的距离 用树上两点之间的最短路径做。 printf("%d %d\n",D,L); } return 0; }
//不知道为什么同学用的树剖和vector数组存边一直re。。。。然后写上读入优化就过了???还好我用的邻接表~