集合的划分

集合的划分

【问题描述】

   设S是一个具有n个元素的集合，S＝｛a1，a2，……，an｝，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足：

 

      则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1 ，a2，……，an 放入k个（0＜k≤n＜30＝无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n，k)。

【输入样例】setsub.in

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【输出样例】setsub.out

     4382641999117305

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int hf(int n,int k)
{
if(n<k||k==0)return 0;
if(n==k||k==1)return 1;
return hf(n-1,k)*k+hf(n-1,k-1);
}
void write(long long x)
{
if(!x)return;
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
write(hf(n,k));
return 0;
}

分析：

两种情况：

       1、｛an｝是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1 划分为k－1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有S(n－1，k－1)个；

       2、｛an｝不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k个子集，这种情况下划分数共有S(n－1，k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k * S(n－1，k)个。

w因此，我们可以得出划分数S(n，k)的递归关系式为：

w    S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k)      (n>k，k>0)

w    S(n，k)＝0                         (n<k)或(k＝0)

w    S(n，k)＝1                         (k=1)或(k＝n)