[ABC106D] AtCoder Express 2 题解

upd：2023 05 07：修改了一处代码错误

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解题思路

区间 $dp$。

划分阶段：以左右城市之间的列车数量为阶段。

状态表达：设 $f_{i,j}$ 为城市 $i$ 与城市 $j$ 之间的列车数量。

状态转移：

由图可知，城市 $l$ 与城市 $r$ 之间的列车数量，就是城市 $l$ 与城市 $r-1$ 之间的列车数量与城市 $l+1$ 与城市 $r$ 之间的列车数量（蓝色括号）加上刚好从城市 $l$ 到城市 $r$ 的列车数量，但是还有一个重合部分，也就是城市 $l+1$ 与城市 $r-1$ 之间的列车数量（橙色方框）。

所以，城市 $l$ 与城市 $r$ 之间的列车数量就等于城市 $l$ 与城市 $r-1$ 之间的列车数量与城市 $l+1$ 与城市 $r$ 之间的列车数量减去城市 $l+1$ 与城市 $r-1$ 之间的列车数量加上刚好从城市 $l$ 到城市 $r$ 的列车数量。

即：

$$f_{i,j}=f_{i,j}+f_{i,j-1}+f_{i+1,j}-f_{i+1,j-1}$$

初始状态：预处理出刚好从城市 $i$ 到城市 $j$ 的列车数量；即：f[l[i]][r[i]]++;。

求解目标：$f_{p,q}$；

代码

AC 记录

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
int n,m,q; 
int l[200005],r[200005],f[505][505];
int main(){
	cin>>n>>m>>q;
	for(ri i=1;i<=m;i++){
		cin>>l[i]>>r[i];
		f[l[i]][r[i]]++;
	}
	for(ri i=n;i>=1;i--)//因为 f[i][j] 是由 f[i+1][j] 得来，所以要从 n 到 1 枚举 
		for(ri j=1;j<=n;j++)
			f[i][j]+=f[i+1][j]+f[i][j-1]-f[i+1][j-1];
	while(q--){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		cout<<f[u][v]<<'\n';
	} 
	return 0;
}