巴什博弈

一种简单的有必胜策略的减法博弈情况

参考百度的论述 [https://baike.baidu.com/item/巴什博弈/1819345]

描述：有n个石头你可以拿最少一个最多m个，拿走最后一个石头的人获胜，变体就是反过来，最后拿走的人失败

关键证明：

首先考虑两种简单情形，我们称某一n的值是先手方\后手方的制胜位置，是指此n值下先手方\后手方有必胜策略：
我们先考虑n<m+1的简单情形。此时先手方行动，由于物品数量小于m+1，故至多为m件物品，先手方一次性拿完所有物品即可胜利。即n=1，2，…，m是先手方的制胜位置。
我们再考虑n=m+1的简单情形。此时先手方行动，他只能拿取1至m件物品，这意味着他无法一次将物品拿完，只能给后手方留下1至m件物品，而这一数量的物品恰好可被后手方一次性拿完。故后手方胜利。即n=m+1是后手方的制胜位置。
下面我们考虑所有的n，不妨设，其中。由带余数除法知识可知，满足上面条件的整数k与r是唯一的。仍分为两种情形讨论：
，此时。不妨设先手方取出了x个物品，后手方只需要取出m+1-x个物品，使得，故使得n仍然整除m+1且后手方仍是后手方。如此操作下去，直到n=m+1的简单情形。这就说明了n可被m+1整除时是后手方的制胜位置。
，此时。故此时先手方可以取走r件物品，使得n可被m+1整除，且自身处于后手方位置，再由上面的讨论可知有必胜策略。这就说明了n不可被m+1整除时是先手方的制胜位置。

我的想法：

讨论最开始的博弈结果和按照最初结果推广是一个算法的关键

变体同理

首先考虑两种简单情形：
若n=1，则由于先手方不能不拿取物品，所以先手方取完了物品，先手方失败，后手方直接获胜。
若，此时由于，故先手方可以拿取n-1件物品，而只留下1件物品给后手方。从而由上面一种情况可知，先手方有必胜策略。
下面我们考虑所有的n，不妨设，其中。由带余数除法知识可知，满足上面条件的整数k与r是唯一的。仍分为两种情形讨论：
，此时。不妨设先手方取出了x个物品，后手方只需要取出m+1-x个物品，使得 ，即使得n整除m+1的余数仍为1且后手方仍是后手方。如此操作下去，直到n=1的简单情形。这就说明了n整除m+1的余数为1时是后手方的制胜位置。
,此时或r=0。故此时若则先手方可以取走r-1件物品，若r=0则先手方可以取走m件物品，n整除m+1的余数为1，且自身处于后手方位置，再由上面的讨论可知有必胜策略。这就说明了n整除m+1的余数为1时是先手方的制胜位置。

总结：若n % (m+1) == 0 后手获胜，反之先手获胜；

变体：n % (m+1) == 1 后手获胜，n % (m+1) != 1 先手获胜